高二数学北师大必修5教学课件3.3.1基本不等式2.pptVIP

均值不等式主讲教师：问题情境设计今有一台天平，两臂不等长，要用它称物体质量，将物体放在左右托盘上各称一次，称得的质量分别为a，b，问：能否用a，b的平均值表示物体的真实质量？比较两数的大小几何直观解释：如果a,b∈R+，那么（当且仅当a=b时，式中等号成立）均值定理：注意：1．适用的范围：a,b为非负数.2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。称为a，b的算术平均数，3.我们把不等式(a≥0,b≥0)称为基本不等式称的几何平均数。为a，b如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”）定理：思考：均值不等式与不等式a2+b22ab的区别与联系？请同学们思考。把看做两个正数a，b的等差中项，看做正数a，b的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。例1．已知ab0，求证：，并推导出式中等号成立的条件。证明：因为ab0，所以，根据均值不等式得即当且仅当时，即a2=b2时式中等号成立，因为ab0，即a，b同号，所以式中等号成立的条件是a=b.例2．（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？规律：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。解题反思：积为定值，和有最小值例3．求函数的最大值，及此时x的值。解：，因为x0，所以得因此f(x)≤当且仅当，即时，式中等号成立。由于x0，所以，式中等号成立，因此，此时。下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？１．已知函数，求函数的最小值和此时x的取值．运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．