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5三角形的内角和定理第1课时三角形内角和定理的证明第七章平行线的证明八年级数学上册?北师大版
学习目标1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.2.应用三角形内角和定理解决相关问题.
复习回顾1.回顾平行线有哪些性质?两直线平行内错角相等同位角相等同旁内角互补2.我们学过的知识中哪些含有180°的关系?三角形内角和等于180°1234∠1=∠2∠1=∠3∠1+∠4=180°平角为180°
进行新课我们已经知道三角形的内角和等于180°,有什么方法可以验证这一结论?①测量47°73°60°60°+47°+73°=180°
②几何画板
ABC③剪拼④折叠BCAABC观测的结果不一定可靠,还要通过数学知识来说明.根据上面的操作过程,你能发现证明的思路吗?
剪拼折叠角的目的什么?构造平角ABCBCAABC如果不实际移动角,通过什么方式来改变角的位置呢?
ABC知识点一三角形内角和定理的证明已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.如何改变角的位置构造平角?延长BC到D,过点C作射线CE∥BA分析:ED这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.
ABCED12证明:延长BC到D,过点C作射线CE∥BA,则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证法一:
三角形内角和定理三角形内角和等于180°ABC几何语言:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.
ABC证明:过点A作l∥BC,∴∠B=∠1,∠C=∠2,(两直线平行,内错角相等).∵∠2+∠1+∠BAC=180°(平角的定义),∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换).12l已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.你还能想到其他添加辅助线构造平角的方法吗?证法二:
已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.ABC证明:过点D作DE∥AC,DF∥AB.∴∠C=∠1,∠B=∠3(两直线平行,同位角相等).∠A+∠AED=180°,∠AED+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠A=∠2(等量代换).∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).123DEF证法三:
思考:除了构造平角得到180°外,还有其他方式吗?两直线平行,同旁内角互补除了在三角形顶点或边上构造平角外,还可以在三角形内部和外部构造平角.
ABCABC讨论:如何构造平行线得到同旁内角呢?根据给出的辅助线提示,请同学们课后完成这两种证明方法.lDEF
ABCEDABClABCDEFABClABCDEF思考:多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么?转化思想添加辅助线(平行线)利用平行线的性质,转移角转化为平角或同旁内角
例1如图,在△ABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数.知识点二三角形内角和定理的应用ACBD
解:在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°,∠C=62°(已知),∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).∵AD平分∠BAC(已知),∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°(角平分线的定义).在△ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证),∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).ACBD
拓展:如图,△ABC中,D在BC的延长线上,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.已知∠A=30°,∠FCD=80°,求∠D.解:∵DE⊥AB,∴∠FEA=90°.∵在△AEF中,∠FEA=90°,∠A=30°,∴∠AFE=180°-∠FEA-∠A=60°.又∵∠CFD=∠AFE,∴∠CFD=60°.∴在△CDF中,∠CFD=60°,∠FCD=80°,∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°.
基本图形归纳∠A+∠B=∠C+∠D“8”字形∠1+∠2=∠3+∠4“A”字形
随堂练习②在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是______三角形.1.练一练:①在△ABC中,∠A=35°,∠B=43°,则∠C=.③在△ABC中,∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,则∠A=,∠B=,∠C=.102°直角60°50°70°
2.如图,四边形AB
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