3.3.2　第2课时　抛物线的方程及其性质的应用 导学案.docxVIP

第2课时抛物线的方程及其性质的应用学案

学习目标

1．会判断直线与抛物线的位置关系.

2.会求解抛物线中的弦长问题.

3.会解决直线与抛物线的综合问题．

情境导入

上一节课我们学习了抛物线的几何性质和有关焦点弦的常见结论，这节课我们类比直线与椭圆、双曲线的位置关系，研究直线与抛物线的位置关系．

新知探究

知识点一直线与抛物线的位置关系

问题引导

1.类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，抛物线与直线有哪几种位置关系？

提示：直线与抛物线的位置关系有3种：相交、相切、相离．

2．试通过作图分析，我们能否用公共点的个数来判定直线与抛物线的位置关系呢？

提示：不能．如图①，相切时有一个公共点；如图②，相交时也有一个公共点．

①②

知识点总结

直线与抛物线位置关系的判断方法

设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.

(1)若k2＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线eq\o(□,\s\up1(1))平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．

(2)若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有eq\o(□,\s\up1(2))两个交点；

当eq\o(□,\s\up1(3))Δ＝0时，直线与抛物线相切，有eq\o(□,\s\up1(4))一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．

(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．

(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．

典例探究

例1已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，问当k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

解：由题意，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，

由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－1＝k（x＋2），,y2＝4x.))(*)

可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.(**)

当k＝0时，由方程(**)得y＝1，

把y＝1代入y2＝4x，得x＝eq\f(1,4)，

这时，直线l与抛物线只有一个公共点(eq\f(1,4)，1)．

当k≠0时，方程(**)的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．

①由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝eq\f(1,2)，所以当k＝－1或k＝eq\f(1,2)时，方程(**)只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．

②由Δ＞0，即2k2＋k－1＜0，

解得－1＜k＜eq\f(1,2).

于是，当－1＜k＜eq\f(1,2)，且k≠0时，方程(**)有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l与抛物线有两个公共点．

③由Δ＜0，即2k2＋k－1＞0，

解得k＜－1或k＞eq\f(1,2).

于是当k＜－1或k＞eq\f(1,2)时，方程(**)没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l与抛物线无公共点．

综上，当k＝0或k＝－1或k＝eq\f(1,2)时，直线l与抛物线只有一个公共点；

当－1＜k＜eq\f(1,2)，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；

当k＜－1或k＞eq\f(1,2)时，直线l与抛物线无公共点．

直线与抛物线位置关系的判断方法

设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.

(1)若k2＝0，此时直线与抛物线只有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．

(2)若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．

变式训练

1．(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则()

A．直线与抛物线有一个公共点

B．直线与抛物线有两个公共点

C．直线与抛物线有一个或两个公共点

D．直线与抛物线可能没有公共点

解析：C∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，

∴直线恒过点(1，0)．

又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部，

∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；

当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．

(2)已知抛物线y2＝8x，过点(－2，2)的直线与抛物线有两个交点，则直线斜率的取值范围是________．

解析：由题可知直线斜率k存在且不为0，设直线方程为x＝my－2m－2，

联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x＝my－2m－2，))消去x，整理得y2－8my＋16(m＋1)＝0，令Δ＝(－8m)2－64(m＋1)＞0，解得m＜eq\f(1－\r(5),2)或m＞eq\f(1＋