差分方程基本知识.pptxVIP

差分方程一、差分方程的基本概念二、一阶常系数线性差分方程三、差分方程的简单应用

1.差分的定义定义1设函数我们称为函数的一阶差分；一、差分方程的基本概念

的二阶差分.同样，称为函数为三阶差分.称

依此类推，函数的n阶差分定义为：且有二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．

是常数，是函数时，A性质1当有以下结论成立：B

例1求则解设例2设求解

例如定义2含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程就称为差分方程.差分方程的不同形式之间可以相互转化.差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为差分方程的阶.

例如，添加标题是一个二阶差分方程，添加标题可以化为添加标题如果将原方程的左边写为添加标题则原方程还可化为

又如：可化为01定义3如果一个函数代入差分方程后，方程两边02其中A为任意常数.03恒等，则称此函数为差分方程的解.04

其中A为任意常数.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为初始条件.满足初始条件的解称之为特解.如果差分方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.

常系数线性差分方程及解的性质的差分方程称为n阶常系数线性差分方程，其中为常数，且为已知函数.时，差分方程(1)称为齐次的，对应的齐次差分方程为定义4形如当否则称为非齐次的.当时，与差分方程(1)

定理1设的k个特解，则线性组合为任意常数.也是该差分方程的解，其中是n阶常系数齐次线性差分方程

的n个线性无关的解，则方程的通解为其中为任意常数．定理2n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个线性无关的特解．若是方程

定理3n阶非齐次线性差分方程的通解与它自己本身的一个特解之和，它对应的齐次方程即通解等于其中是它自己本身的一个特解.

添加标题添加标题添加标题以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差分方程的通解结构,它们是求解线性差分方程非常重要的基础知识．在本书中．我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．

二、一阶常系数线性差分方程01为常数，02为已知函数.03时，称方程0405则(3)称为一阶常系数非齐次线性06一阶常系数线性差分方程的一般形式为07其中08当09为一阶常系数齐次线性差分方程.10若11差分方程.12

01迭代法求解：02一般地，03对于一阶常系数齐次线性差分方程04通常有如下两种解法.05常系数齐次线性差分方程的通解

添加标题特征方程法求解：设添加标题化简得：添加标题即

分别称为方程和是方程(4)的解.再由解的结构及通解的定义知：的特征方程和特征根.是齐次方程的通解.为任意常数)故

的通解.于是原方程的通解为解特征方程为例4求从而特征根为其中C为任意常数.

考虑差分方程的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.添加标题1(c为任意常数),添加标题2则差分方程为添加标题31)采用迭代法求解：添加标题4有迭代公式添加标题5给定初值添加标题6

2)一般法求解：设差分方程的特解.01具有形如02当03时，04当05时，06

01例5求差分方程的通解.02解对应齐次差分方程的通解为03代入方程，解得：04故原差分方程通解为：05故可设其特解为：由于

设差分方程(6)具有形如的特解。于是

即解得于是和Q1Q2Q3Q4

例6求差分方程的通解。故原差分方程通解为：05代入方程，解得：04故可设其特解为：03由于02解对应齐次差分方程的通解为01

设差分方程(7)具有形如的特解.将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数确定系数

例7求差分方程的通解。5%55%30%10%解对应齐次差分方程的通解为比较系数：代入方程，得故可设其特解为由于

原差分方程通解为01解得02故方程特解为

综上所述，有如下结论：的特解.若设差分方程具有形如

当时，(*)式左端为次多项式，要使(*)式成立，则要求PARTONE

故可设差分方程（8）具有形如当时，取否则，取前面三种情况都是差分方程（8）的特殊情形：的特解.

三、差分方程在经济问题中的简单应用例8（存款模型)为期存款总额，利率，按年复利计息，则与有如下关系式：这是关于的一个一阶常系数齐次线性差分方程，其中为初始存款总额.为存款其通解为设

例9（贷款模型）01设每个月应付x元02(贷款额为03元）,月利率是04第一个月应付利息为05可入住,另一半由银行以年利r贷款,06均每月付多少元？共付利息多