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《运筹学》第二章对偶问题

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《运筹学》第二章对偶问题

摘要：运筹学中的对偶问题是优化理论中的一个重要部分，它不仅可以帮助我们理解原始问题的解，还可以用于解决一些实际应用中的问题。本文旨在深入探讨对偶问题的基本理论，包括对偶理论的基本概念、对偶问题的性质、对偶解的存在性和唯一性、对偶问题的求解方法以及在实际应用中的案例。通过对对偶问题的研究，不仅可以加深对优化理论的理解，还可以为实际问题的解决提供理论支持和实践指导。本文首先介绍对偶问题的基本概念和性质，然后分析对偶问题的求解方法，最后通过实际案例展示对偶问题的应用。

随着科学技术的飞速发展，优化问题在各个领域得到了广泛的应用。优化问题是指在一定约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量组合。在实际应用中，很多优化问题都可以转化为数学模型，并通过求解这些数学模型来找到最优解。运筹学作为一门应用数学分支，为解决优化问题提供了一系列的理论和方法。对偶问题是运筹学中一个重要的分支，它不仅可以帮助我们理解原始问题的解，还可以通过引入对偶变量，将问题转化为对偶问题进行求解，从而提高求解效率。本文将对对偶问题的基本理论、性质、求解方法以及在实际应用中的案例进行详细探讨。

一、1.对偶问题的基本概念

1.1对偶问题的定义

对偶问题的定义起源于线性规划领域，它是将原始线性规划问题转化为另一个与之相关联的问题，即对偶问题。原始线性规划问题通常描述为在一系列线性不等式或等式约束下，寻找一个变量的最优值，使得一个线性目标函数最大化或最小化。对偶问题则通过引入对偶变量，将原始问题的约束条件转化为对偶问题的目标函数，同时将原始问题的目标函数转化为对偶问题的约束条件。这种转换不仅揭示了原始问题和解之间的关系，而且提供了一种新的求解原始问题的方法。

具体而言，对于一个给定的线性规划问题，我们首先定义它的决策变量、约束条件以及目标函数。然后，根据线性规划的对偶理论，我们可以构造出它的对偶问题。在构造对偶问题时，我们引入对偶变量，这些变量对应于原始问题中约束条件的系数。对偶问题的目标函数是对偶变量的线性组合，其系数为原始问题目标函数的系数的负值。同时，对偶问题的约束条件则是对偶变量的线性不等式，其系数为原始问题约束条件的系数。

对偶问题的定义不仅限于线性规划，它还可以扩展到其他类型的优化问题，如非线性规划、整数规划等。在非线性规划中，对偶问题的构造需要考虑目标函数和约束条件的非线性特性，这使得对偶问题的求解更加复杂。然而，无论在哪种情况下，对偶问题的核心思想都是将原始问题的约束转化为对偶问题的目标，从而提供一种新的视角来理解原始问题和解之间的关系。通过研究对偶问题，我们可以更好地理解优化问题的本质，并找到更有效的求解策略。

1.2对偶问题的性质

(1)对偶问题的性质是运筹学中的一个重要理论分支，它揭示了原始问题与其对偶问题之间的紧密联系。首先，对偶问题的最优解之间存在一个重要的关系，即对偶定理。该定理指出，对于给定的线性规划问题，其原始问题的最优值与对偶问题的最优值之间存在以下关系：如果原始问题是可解的，那么原始问题的最优值加上对偶问题的最优值等于原始问题的目标函数的常数项。这一性质在实际应用中具有很大的价值，因为它可以用来检验原始问题的解是否是最优的，或者在没有直接求解原始问题时，通过求解对偶问题来估计最优解。

例如，在一个生产问题中，假设我们想要最大化利润，同时受到资源限制。原始问题的目标函数可能是最大化总利润，而对偶问题则可能转化为最小化资源的最大可能使用量。如果对偶问题的最优解给出的是资源的最大可能使用量，那么我们可以通过检查原始问题的解是否满足对偶问题的约束条件来确定原始问题的解是否最优。

(2)另一个重要的对偶性质是互补松弛条件。这个条件指出，对于原始问题的每个约束和目标函数的系数，存在一个对应的对偶变量，使得它们的乘积之和为零。互补松弛条件不仅揭示了原始问题和解之间的关系，而且在数值求解中有着重要的应用。例如，在单纯形法求解线性规划问题时，互补松弛条件可以帮助我们判断解的可行性以及是否为最优解。

以一个运输问题为例，假设有三个工厂和三个仓库，我们需要找到从工厂到仓库的最优运输方案。在这个问题中，每个工厂的运输成本和每个仓库的接收量都可以作为对偶变量。互补松弛条件告诉我们，对于每个工厂的运输成本，存在一个仓库的接收量，它们的乘积之和为零。这个条件可以用来验证解的可行性，即所有仓库的接收量之和是否等于所有工厂的供应量。

(3)对偶问题的另一个性质是对偶理论的强对偶性。强对偶性指出，如果一个线性规划问题是有界的，那么