2018年数学（北师大版选修2-2）练习第1章1112归纳与类比.doc

第一章§11.11.2

1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则第七个三角形数是()

A．27 B．28

C．29 D．30

解析：第一个三角形数是1，

第二个三角形数是1＋2＝3，

第三个三角形数是1＋2＋3＝6，

第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.

因此，由归纳推理第n个三角形数是1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(?1＋n?n,2).

由此可以得出第七个三角形数是28.

答案：B

2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))时，其离心率为eq\f(\r(5)－1,2)，此类椭圆被称为“椭圆”，类比“椭圆”，可推算出“双曲线”的离心率e等于()

A．eq\f(\r(5)＋1,2) B．eq\f(\r(5)－1,2)

C．eq\r(5)－1 D．eq\r(5)＋1

解析：根据“椭圆”的性质eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，可以得到“双曲线”也满足这个性质，设“双曲线”的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．在“双曲线”中，∵eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.又eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，∴b2＝ac.而b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac.等号两边同除以a2，得e2－e－1＝0，求得e＝eq\f(\r(5)＋1,2).

答案：A

3．下列几种推理过程是类比推理的是()

A．两直线平行，内错角相等

B．由平面三角形性质，猜想空间四面体性质

C．由数列的前几项，猜想数列的通项公式

D．某校高二年级有10个班，1班51人，2班53人，3班52人，猜想各班都超过50人

解析：A不是合情推理，C是归纳推理，D是归纳推理，只有B是类比推理．

答案：B

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．

解析：等差数列类比于等比数列时，其中和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．

答案：eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)

5．已知数列{an}中，a2＝6，eq\f(an＋1＋an－1,an＋1－an＋1)＝n.

(1)求a1，a3，a4；

(2)猜想数列{an}的通项公式．

解：(1)由a2＝6，eq\f(a2＋a1－1,a2－a1＋1)＝1，得a1＝1.

由eq\f(a3＋a2－1,a3－a2＋1)＝2，得a3＝15.

由eq\f(a4＋a3－1,a4－a3＋1)＝3，得a4＝28.

故a1＝1，a3＝15，a4＝28.

(2)由a1＝1＝1×(2×1－1)，

a2＝6＝2×(2×2－1)，

a3＝15＝3×(2×3－1)，

a4＝4×(2×4－1)，…，

猜想an＝n(2n－1)．