专题拓展：利用空间向量解决探索性问题（技巧解密+4考点+过关检测）（原卷版）.docxVIP

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专题拓展：利用空间向量解决探索性问题

一、与空间向量有关的探索性问题

一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直，

另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题。

二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：

（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。

（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。

三、动点的设法（减少变量数量）

在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而(x,y,z)可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下设法。

1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；

依据：根据平面向量共线定理—若，使得

【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，

方法如下：，

因为在上，所以

∴，

所以可设点.

2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。

依据：平面向量基本定理—若，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得

【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示，

方法如下：，，

故，即

所以可设点.

考点一：平行问题中的动点探索

例1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是与的交点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

【变式1-1】（23-24高二上·山东滨州·期末）如图，已知正方体中，点分别在棱和上，.

(1)求平面与平面的夹角的余弦值；

(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.

【变式1-2】（23-24高三上·河北秦皇岛·月考）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点．

(1)求多面体的体积；

(2)求点到平面的距离；

(3)在线段上是否存在点，使得平面？

【变式1-3】（23-24高三上·云南昆明·月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．

??

(1)证明：平面ABCD；

(2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

考点二：垂直问题中的动点探索

例2.（23-24高二上·四川成都·月考）如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点.

(1)证明：当为棱的中点时，平面；

(2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【变式2-1】（23-24高二上·广东江门·月考）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．

(1)求证：平面；

(2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

【变式2-2】（23-24高二上·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点为棱的中点，，.

(1)求平面与平面夹角的余弦值；

(2)若为棱的中点，则棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.

【变式2-3】（23-24高二上·广东·月考）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，．

(1)若点是棱上靠近的三等分点，证明：平面；

(2)试探究棱上是否存在一点（不与、重合），使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

考点三：夹角问题中的动点探索

例3.（23-24高三上·江苏·月考）如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点．

(1)求证：平面平面；

(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【变式3-1】（23-24高二上·广西南宁·期末）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．

(1)求证：平面；

(2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【变式3-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点．

(1)求证：；

(2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由．

【变式3-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）.

(1)证明：平面平面；

(2)若平面与平面所成的锐角的余弦值为，试判断