湖南师范大学《高等数学》曲率.pptxVIP

会计学1湖南师范大学高等数学曲率

2.11.1弧微分在曲线上取一固定点的基点,),(为曲线上yxM作为计算弧长⌒⌒(2)的值记为s(简称弧),规定：任意一点,有向弧段⌒第1页/共18页

且为单调增函数显然,.下面求第2页/共18页

称为弧微分公式.或又由第3页/共18页

2.11.2曲率及其计算一、曲率概念曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．弧段长度相等,弧段弯曲程度越大,转角越大转角相同,弧段越短弯曲程度越大第4页/共18页

设曲线C是光滑的，（曲线C在点M处的曲率（定义)xo第5页/共18页

注意(1)直线的曲率处处为零(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,半径越小曲率越大.00第6页/共18页

二、曲率的计算公式如果曲线由参数方程给出:第7页/共18页

解在点(1,1)处的曲率为例1计算等边双曲线在点(1,1)处的曲率.第8页/共18页

解显然,抛物线在顶点处的曲率最大.\例2试求抛物线上曲率最大的点？第9页/共18页

例3求椭圆上曲率最大和最小的点解第10页/共18页

记的最大值.令的最小值为,则时,取最大值.即椭圆在点则的最大值为k的最小值,直接验证可知,当取最小值;时,处曲率最大,在点处曲率最小.第11页/共18页

2.11.3曲率圆与曲率半径

定义点D称为曲线在点处的曲率中心,称为曲线在点处的曲率半径.第12页/共18页

1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的小结:3.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).4.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).曲率互为倒数,2.曲率圆与曲线在点M处有相同的曲率和公共的切线;在点M处附近与曲线有相同的凹向.第13页/共18页

半径。解例4求曲线处的曲率与曲率在点曲线在点分别为处的曲率及曲率半径第14页/共18页

0.,.70飞行员对座椅的压力到原点时求俯冲千克飞行员体重,/400,)(秒米处速度为点在原俯冲飞行单位为米=vO例540002飞机沿抛物线=xy为P,F为飞行员在原点做匀速圆周运动的离心力。解设飞行员对座椅的压力为,飞行员的体重如图,受力分析,则视飞行员在点o作匀速圆周运动,为O点处轨道的曲率半径.压力=重力+离心力第15页/共18页

得曲率为曲率半径为即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.第16页/共18页

作业P1323.4.5.第17页/共18页