24-25版：8.3.2　第2课时　球的表面积和体积.docxVIP

第2课时球的表面积和体积

［学习目标］1.知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.(重点)2.掌握球的截面问题及切、接问题的相关计算.(难点)

导语

前面我们研究了柱、锥、台体的体积和表面积，这节课我们来研究球的体积和表面积.我们知道“半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体”.那么我们能否借鉴研究圆的周长和面积的方法来研究球的体积和表面积呢？

一、球的表面积与体积

问题在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？

提示类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积，如图所示，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”.

当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R.

设O-ABCD是其中一个“小锥体”，

它的体积VO-ABCD≈13SABCDR

由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，

而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.

因此，球的体积V球=13S球R=13×4πR2·R=43π

知识梳理

1.球的表面积

如果球的半径为R，那么它的表面积是S球=4πR2.

2.球的体积

如果球的半径为R，那么它的体积是V球=43πR3

例1(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积.

解∵球的直径为6cm，

∴球的半径R=3cm.

∴球的表面积S球=4πR2=36π(cm2)，

球的体积V球=43πR3=36π(cm3)

(2)已知球的表面积为64π，求它的体积.

解∵S球=4πR2=64π，∴R2=16，即R=4.

∴V球=43πR3=43π×43=

反思感悟半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.

跟踪训练1两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为.?

答案364π

解析设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得R-r

∴它们的体积和为43πR3+43πr3=

二、球的截面问题

知识梳理

用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d=R2

例2一平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()

A.6π B.43π C.46π D.63π

答案B

解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，则OO=2，OM=1，

∴OM=(2)2+1=

∴V=43π×(3)3=43π

反思感悟球的截面的性质

球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题.

跟踪训练2如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当水面恰好接触球面时测得水深为6cm，若不计容器厚度，则球的体积为()

A.500π3cm3 B.866π3

C.1372π3cm3 D.2048π3

答案A

解析如图，作出球的一个轴截面，则MC=8-6=2(cm)，

BM=12AB=12×8=4(cm).设球的半径为R，则R2=OM2+MB2=(R-2)2+4

解得R=5cm，∴V球=43π×53=500π3(cm3

三、与球有关的切、接问题

知识梳理

1.正方体的内切球

球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1=a2(a为正方体棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图1

2.球与正方体的各条棱相切

球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r2=22a，过球心作正方体的对角面，如图2

3.长方体、正方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r3=12a2+b2+c2，如图3.当

4.正四面体的外接球与内切球

若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=64a，内切球半径为r=13R=612a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3

例3(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为()

A.4∶3B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4

答