单调性及其判定课件.pptVIP

單調性及其判定一、單調性的判別法函數在某區間上是否具有單調性是我們在研究函數的性態時，首先關注的問題。第一章中已經給出了函數在某區間上單調的定義，但利用定義來判定函數的單調性卻是很不方便的。從幾何圖形上看，表示單調函數的曲線當引數在單調區間內按增加方向變動時，曲線總是上升（下降）的。進一步若曲線在某區間內每點處的切線斜率都為正（負），即切線的傾角全為銳（鈍）角，曲線就是上升（下降）的這就啟示我們：能否利用導數的符號來判定單調性？回答是肯定的。定理證應用拉氏定理,得注①若在(a,b)內至多有有限個導數等0的點和至多有限個不可導點，而在其餘點處均有則由連續性，結論仍成立②此判定法則對其他各種類型的區間仍適用例1解注意:函數的單調性是一個區間上的性質，要用導數在這一區間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區間上的單調性．二、單調區間求法問題:如上例，函數在定義區間上不是單調的，但在各個部分區間上單調．定義:若函數在其定義域的某個區間內是單調的，則該區間稱為函數的單調區間.導數等於零的點和不可導點，可能是單調區間的分界點．方法:例2解單調區間為例3解單調區間為例4證注意:區間內個別點導數為零,不影響區間的單調性.例如,例5證明證例6設證明[分析]如圖所示oxy結論是顯然的證一總之有證二或令例7證或利用單調性證明不等式的步驟：①將要證的不等式作恒等變形（通常是移項）使一端為0另一端即為所作的輔助函數f(x)②求驗證f(x)在指定區間上的單調性③與區間端點處的函數值或極限值作比較即得證三、小結單調性的判別是拉格朗日中值定理的重要應用.定理中的區間換成其他有限或無限區間，結論仍然成立.應用：利用函數的單調性可以確定某些方程實根的個數和證明不等式.