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湖南省益阳市普通重点中学2024年中考三模数学试题含解析

1.选择题（每题4分，共40分）

（1）若两个角互为补角，其中一个角是45°，则另一个角的度数是______。

A.135°

B.145°

C.155°

D.165°

解析：补角的定义是两个角的和为180°。设另一个角为x，则有45°+x=180°。解得x=180°45°=135°。故选A。

（2）在三角形ABC中，AB=AC，角B的度数是60°，则角A的度数是______。

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

解析：在等腰三角形中，底角相等。由题意知，AB=AC，角B的度数是60°，所以角A的度数也是60°。故选C。

（3）下列哪个数是27的立方根？

A.3

B.3

C.9

D.9

解析：立方根的定义是一个数的立方根的立方等于这个数。(3)3=27，所以3是27的立方根。故选A。

（4）函数y=2x3中，自变量x的取值范围是______。

A.x3

B.x3

C.x≥3

D.x≤3

解析：函数y=2x3中，当x取任意实数时，y都有对应的值。因此，x的取值范围是全体实数。但题目要求自变量x的取值范围，所以需要找到x的取值使得y有意义。当y=0时，x=3/2，所以x的取值范围是x≥3/2。故选C。

（5）若平行线l1：3x4y+8=0和l2：6x8y+c=0垂直，则c的值是______。

A.8

B.8

C.16

D.16

解析：两条平行线的斜率相等，所以它们的斜率乘积为1。设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则有k1k2=1。将l1和l2的方程化为斜截式，得到k1=3/4，k2=3/4。将斜率代入1，解得c=16。故选C。

2.填空题（每题4分，共40分）

（1）在三角形ABC中，a=8，b=10，sinA=3/5，求边c的长度。

答案：c=6

解析：根据正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。所以sinB=bsinA/a=103/5/8=3/4。由sinB=3/4，得角B为60°。利用余弦定理，得c2=a2+b22abcosB=82+1022810cos60°=64+10080=84。所以c=√84=6。

（2）已知函数f(x)=x24x+3，求f(x)的最小值。

答案：最小值为1

解析：将f(x)写成完全平方的形式，得f(x)=(x2)21。因为(x2)2≥0，所以f(x)的最小值为1。

（3）已知一组数据的平均数为10，中位数为12，众数为11，求这组数据的方差。

答案：方差为4

解析：设这组数据共有n个数，那么这n个数的总和为10n。因为中位数为12，所以第(n+1)/2个数和第(n+2)/2个数的平均数为12。又因为众数为11，所以11出现的次数最多。设11出现了m次，那么其他数的总和为10n11m。根据方差的定义，方差s2=[(x110)2+(x210)2+...+(xn10)2]/n。将11出现的次数和剩余数的总和代入方差公式，解得方差为4。

3.解答题（共20分）

（1）已知函数f(x)=x2+2x+1，求f(x)的单调区间。

答案：单调增区间为(∞，1]，单调减区间为[1，+∞)。

解析：将f(x)写成完全平方的形式，得f(x)=(x+1)2。因为(x+1)2≥0，所以f(x)在x=1处取得最小值0。当x≤1时，f(x)单调递减；当x≥1时，f(x)单调递增。

（2）已知平行四边形ABCD的对角线交于点E，AB=6，BC=8，∠B=60°，求平行四边形ABCD的面积。

答案：面积S=24√3。

解析：在平行四边形ABCD中，对角线交于点E，所以BE=EC。由余弦定理，得BE=√(AB2+BC22ABBCcosB)=√(62+82268cos60°)=√(36+64961/2)=√(10048)=√52=2√13。因为平行四边形的面积S=ABBCsinB，所以S=68sin60°=24√3。

（3）已知三角形ABC的三边长分别为a=5，b=7，c=8，求三角形ABC的面积。

答案：面积S=14。

解析：由余弦定理，得cosA=(b2+c2a2)/(2bc)=(72+8252)/(278