电磁场的数学物理基础课件.pptVIP

電磁場的數學物理基礎§1.1向量分析1.標量場和向量場標量：只有大小而沒有方向的量。如電壓U、電荷量Q、電流I、面積S。向量：具有大小和方向特徵的量。如電場強度向量、磁場強度向量、作用力向量、速度向量等。標量場：在指定的時刻，空間每一點可以用一個標量唯一地描述，則該標量函數定出標量場。例如物理系統中的溫度、壓力、密度等可以用標量場來表示。向量場：在指定的時刻，空間每一點可以用一個向量唯一地描述，則該向量函數定出向量場。例如流體空間中的流速分佈等可以用向量場來表示。2.場的場圖表示對向量場，則用一些有向曲線來形象表示向量在空間的分佈，稱為力線或流線。力線上任意點的切線方向必定與該點的向量方向相同。對標量場，用等值面圖表示。空間內標量值相等的點集合形成的曲面稱為等值面，例如氣象圖上的等壓線，地圖上的等高線等。3.向量的通量、散度一個開表面上的面元，其方向與圍成該開表面的閉合回路的方向呈右螺旋關係。一個閉合面上的面元，其方向為該閉合面的外法線方向。通量定義：向量A沿某一有向曲面S的面積分為A通過S的通量，即。物理意義：向量通過閉合面的通量反映了閉合面內源的性質。散度定義：在向量場A中，圍繞P點做一閉合面，所圍體積為??，若穿過閉合面的通量與之比的極限存在，則該極限稱為向量場A在P點的散度,即物理定義：包圍單位體積閉合面的通量。計算公式：散度（高斯）定理：4.向量的環流、旋度定義：向量A沿某一有向閉合曲線C的線積分為A沿C的環流，即物理意義：向量沿閉合曲線的環流反映了閉合曲線內源的性質。向量的旋度：在向量場A中，圍繞P點做一閉合回路c，所圍面積為?S，其法線方向單位向量為n；A的旋度是向量，其大小為?S?0時環流面密度的最大值，其方向為使環流面密度取最大值時面元的法線方向，即物理意義：向量的旋度是環流面密度的最大值，與面元的取向無關。計算公式：斯托克斯定理：5.標量的梯度定義：標量場u在某點的梯度是一個向量，其方向為u增加最大的方向，即等值面法線方向；其大小等於u在該方向上的增加率，即最大增加率。物理意義：標量的梯度表示了標量u增加率的最大值及方向。計算公式：標量沿某一方向的方向導數等於標量的梯度在該方向上的投影，即證明：6.向量恒等式7.亥姆霍茲定理定理：位於空間有限區域內的向量場，當它的散度，旋度以及它在區域邊界上的場分佈給定之後，該向量場就被唯一確定；對於無限大空間，如果向量在無限遠處減少至零，則該向量由其散度和旋度唯一確定。幾個場的名稱和性質：保守場：場強沿線積分與路徑無關，沿閉合回路的積分為零。無旋場：旋度為零的向量場叫做無旋場。標量場的梯度場是無旋場，如靜電場。無散場：散度為零的向量場叫做無散場。向量場的旋度場是無散場，如恒定磁場。由亥姆霍茲定理可知，對向量場的研究應從散度和旋度兩方面進行。散度方程和旋度方程組成了向量場的基本微分方程，通量方程和環流方程組成了向量場的基本積分方程。§1.2時變電磁場的基本方程1.時變磁場產生有旋、無散電場法拉第電磁感應定律:式中，?in為感應電勢，S為以閉合回路為邊界的曲面，n為S的單位法向量，?為穿過曲面S的磁通。它們之間的關係如圖1所示。式中的負號可由楞次定律說明，即感應電流產生的磁場將抵抗原來磁場的變化。對應感應電勢?in，存在感應電場Ein，且感應電勢?in等於感應電場Ein沿閉合回路的線積分，即：可以看出，感應電場Ein沿閉合回路的線積分不為零。換句話說，感應電場為非保守場。假設在隨時間變化的磁場中，閉合回路C以速度v在?t的時間間隔內位移了v?t的距離，則閉合回路中磁通的變化率為：閉合回路C的一個線元dl也在?t的時間間隔內位移了v?t的距離，它掃過一個面元，整個回路掃過一個側面S（?t）。S（t），S（?t）和S（t+?t）構成一個閉合曲面，令其為S0，則由磁通連續性原理，在t+?t時刻，應有：用泰勒公式展開為：略去二階以上的無窮小項，帶入上式，得：移項，可得：由此可得：利用斯托克斯定理：曲面S是任意的,等號兩邊的積分核必須相等，即：感應電場的電場強度線是無頭無尾的閉合曲線，它對任意閉合曲面的面積分必然為零，或者說它的散度為零（）。可見，感應電場是有旋場，無散場。如果空間還存在庫侖電荷，則庫侖電荷產生的庫侖電場Ec與靜電場性質相似，是無旋場，有散場，只是場量隨時間變化。此時空間任一點的電場為感應電場與庫侖電場之和，即：可得：由於感應電