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北京高数竞赛试题及答案

姓名：____________________

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）

A.y=x^2

B.y=2^x

C.y=ln(x)

D.y=|x|

2.已知函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的零点为（）

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.x=2

3.函数y=(x-1)^2在x=2处的导数为（）

A.0

B.2

C.1

D.-2

4.已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的极小值为（）

A.-4

B.0

C.4

D.2

5.函数y=e^x在x=0处的导数为（）

A.1

B.0

C.-1

D.e

6.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)的拐点为（）

A.(0,0)

B.(1,0)

C.(2,0)

D.(3,0)

7.函数y=ln(x)的导函数为（）

A.y=1/x

B.y=x

C.y=x^2

D.y=e^x

8.已知函数f(x)=e^x-x，则f(x)的零点为（）

A.x=0

B.x=1

C.x=e

D.x=e^-1

9.函数y=ln(x^2)的导函数为（）

A.y=2/x

B.y=2x

C.y=2ln(x)

D.y=2e^x

10.已知函数f(x)=x^3-9x，则f(x)的极值点为（）

A.x=0

B.x=3

C.x=-3

D.x=1

二、填空题（每题3分，共5题）

1.函数f(x)=x^2-2x+1在x=1处的导数为__________。

2.已知函数f(x)=ln(x)，则f(1)=__________。

3.函数y=x^3在x=0处的切线方程为__________。

4.已知函数f(x)=e^x，则f(x)=__________。

5.函数y=ln(x)的定义域为__________。

二、判断题（每题2分，共10题）

1.函数f(x)=x^2在定义域内单调递增。（）

2.函数y=ln(x)在x=1处取得极小值。（）

3.函数y=e^x的导数等于其本身。（）

4.函数y=x^3在x=0处取得极大值。（）

5.函数y=ln(x)在x=0处无定义。（）

6.函数y=x^2在x=0处的导数为0。（）

7.函数y=ln(x)的图像是连续的。（）

8.函数y=e^x在x=0处的切线斜率为1。（）

9.函数y=ln(x)的导数在定义域内恒大于0。（）

10.函数y=x^3在x=0处的切线方程为y=0。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述函数的导数在函数极值判断中的作用。

2.解释函数的导数在函数图像上的几何意义。

3.举例说明如何利用导数求解函数的极值。

4.简述函数的导数与函数单调性的关系。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述拉格朗日中值定理的证明过程及其在函数研究中的应用。

2.论述泰勒公式的推导方法，并讨论其在近似计算和函数研究中的作用。

试卷答案如下

一、单项选择题

1.B

解析思路：选项B中的函数y=2^x在区间（0，+∞）上始终递增。

2.B

解析思路：对f(x)=x^3-3x求导得f(x)=3x^2-3，令f(x)=0，解得x=1。

3.A

解析思路：对y=(x-1)^2求导得y=2(x-1)，当x=2时，y=0。

4.C

解析思路：对f(x)=x^2-4x+4求导得f(x)=2x-4，令f(x)=0，解得x=2，此时f(2)=0。

5.A

解析思路：对y=e^x求导得y=e^x，在x=0处，y=e^0=1。

6.B

解析思路：对f(x)=x^3-3x^2+2x求导得f(x)=3x^2-6x+2，令f(x)=0，解得x=1，此时f(1)=0。

7.A

解析思路：对y=ln(x)求导得y=1/x。

8.C

解析思路：对f(x)=e^x-x求导得f(x)=e^x-1，令f(x)=0，解得x=e。

9.C

解析思路：对y=ln(x^2)求导得y=2/x。

10.B

解析思路：对f(x)=x^3-9x求导得f(x)=3x^2-9，令f(x)=0，解得x=3。

二、判断题

1.×

解析思路：函数f(x)=x^2在x=0处取得极小值，但在定义域内并非始终单调递增。

2.√

解析思路：函数y=ln(x)在x=1处取得极小值，因为导数在x=1处由负变正。

3.√

解析思路：函数y=e^x的导数y=e^x，等于其本身。

4.×

解析思路：函数y=x^3在x=0处取得极小值，而非极大值。

5.√

解析思路：函数y=ln(x)在x=0处无定义，因为ln(0)没有实数值。

6.√

解析思路：函数y