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2025/4/19计算机算法根底
2025/4/19第二章分治法
——“分”而治之2.1一般方法对大规模问题的求解利用分治法求解大规模问题1.根本思想在问题的输入规模很大时，无法直接求解，那么采用将整个问题分成假设干个小问题后分而治之。一般情况下，子问题与原始问题“同质”
2025/4/19算法2.1分治策略的抽象化控制procedureDANDC(p,q)globaln.A(1:n);integerm,p,q;//1≤p≤q≤n//ifSMALL(p,q)thenreturn(G(p,q))elsem←DIVIDE(p,q)//p≤m＜q//return(COMBINE(DANDC(p,m),DANDC(m+1,q)))endifendDANDC注：k=2:二分是最常用的分解策略；SMALL(p,q)：布尔函数，判断输入规模q-p+1是否足够小而无需再进一步分就可求解；G(p,q)：对输入规模为q-p+1的子问题求解〔SMALL(p,q)为真时〕；DIVIDE(p.q)：对输入规模为q-p+1的子问题进一步分解，返回值为[p,q]区间进一步的分割点〔SMALL(p,q)为真时；COMBINE(x,y)：子结果的合并函数，将区间[p,m]和[m+1,q]上的子问题的解合并成上级区间[p,q]上的“较完整”的解。当p=1,q=n时，就得到整个问题的解。2.分治策略的抽象化控制
2025/4/19DANDC的计算时间假设所分成的两个子问题的输入规模大致相等，那么DANDC总的计算时间可用递归关系式表示，如下：g(n)n足够小T(n)=2T(n/2)+f(n)否那么注：T(n)：表示输入规模为n的DANDC计算时间g(n)：表示对足够小的输入规模直接求解的计算时间f(n)：表示COMBINE对两个子区间的子结果进行合并的时间〔该公式针对具体问题有各种不同的变形〕
2025/4/192.2二分检索〔折半查找〕1.问题的描述一个按非降次序排列的元素表a1,a2,…,an,判定某给定的元素x是否在该表中出现。假设是，那么找出x在表中的位置并返回其所在下标假设非，那么返回0值。
2025/4/19分治求解策略分析：定义问题的形式描述：I=(n,a1,a2,…,an,x)问题分解：选取下标k，由此将I分解为3个子问题：I1=(k-1,a1,a2,…,ak-1,x)I2=(1,ak,x)I3=(n-k,ak+1,ak+2,…,an,x)对于I2，假设ak=x，那么有解k，对I1、I3不用再求解；否那么，假设xak，那么只在I1中求解，对I3不用求解；假设xak，那么只在I3中求解，对I1不用求解；I1、I3上的求解可再次采用分治方法划分后求解〔递归过程〕
2025/4/192.二分检索算法算法2.3二分检索procedureBINSRCH(A,n,x,j)integerlow,high,mid,j,n;low←1;high←n;whilelow≤highdomid←casexA(mid):high←mid-1xA(mid):low←mid+1else:j←mid;returnendcaserepeatendNIBSRCH注：给定一个按非降次序排列的元素数组A(1:n)，n≥1,判断x是否出现。假设是，置j，使得x=A(j)假设非，j=0
2025/4/19例2.1：设A(1:9)=(-15，-6，0，7，9，23，54，82，101)在A中检索x=101，-14，82。执行轨迹见下表1表1运行轨迹示例x=
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