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海南省2023-2024学年高三学业水平诊断(五)数学
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量,若,则()
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.已知复数满足,则在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知等比数列的公比不为1,若,且成等差数列,则()
A. B. C. D.
4.在的展开式中,的系数为()
A.30 B.20 C.10 D.-10
5.在中,的平分线与对边交于点,若的面积为的2倍,且,则()
A.3 B.4 C.6 D.8
6.在高二选科前,高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计,根据统计数据发现:选物理的同学占全班同学的80%,同时选物理和化学的同学占全班同学的60%,且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学,则该同学既不选物理也不选化学的概率为()
A.0.125 B.0.1 C.0.075 D.0.05
7.如图,在直三棱柱中,点D,E分别在棱上,,点满足,若平面,则的值为()
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中,已知双曲线的左、右焦点分别为,为右支上的一点,满足,以点为圆心、为半径的圆与线段相交于A,B两点,且,则的离心率为()
A. B. C.2 D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若正实数a,b满足,则()
A.的最小值为 B.的最大值为1
C.的最小值为 D.的取值范围为
10.已知抛物线的焦点为F,C上一点到和到轴的距离分别为12和10,且点位于第一象限,以线段为直径的圆记为,则下列说法正确的是()
A.
B.的准线方程为
C.圆的标准方程为
D.若过点,且与直线为坐标原点)平行的直线与圆相交于A,B两点,则
11.在四面体中,都是边长为6的正三角形,棱与平面所成角的余弦值为,球与该四面体各棱都相切,则()
A.四面体为正四面体
B.四面体的外接球的体积为
C.球的表面积为
D.球被四面体的表面所截得的各截面圆的周长之和为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若定义在上的奇函数满足:当时,,则______.
13.如图是某质点做简谐运动的部分图像,该质点的振幅为2,位移与时间满足函数
,点在该函数的图象上,且位置如图所示,则______.
14.若对任意的,不等式恒成立,则的最大整数值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数.
(I)当时,求曲线在点处的切线方程;
(II)若函数为的导函数),讨论的单调性.
16.(15分)
某大型公司进行了新员工的招聘,共有来自全国各地的10000人参加应聘.招聘分为初试与复试.初试为笔试,已知应聘者的初试成绩.复试为闯关制:共有三关,前两关中的每一关最多可闯两次,只要有一次通过,就进入下一关,否则闯关失败;第三关必须一次性通过,否则闯关失败.若初试通过后,复试三关也都通过,则应聘成功.
(I)估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数;
(II)若小王已通过初试,在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为,,且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响,求小王应聘成功的概率.
附:若随机变量,则.
17.(15分)
如图,已知线段为圆柱的三条母线,AB为底面圆的一条直径,是母线的中点,且.
(I)求证:平面DOC;
(Ⅱ)求平面与平面的夹角的余弦值.
18.(17分)
已知椭圆的离心率为,斜率为且在轴上的截距为1的动直线与交于两点,当时,直线过的右顶点.
(I)求的方程;
(II)设为线段AB的中点,过作直线交轴于点,直线交轴于点,的面积分别记为,若,求的取值范围.
19.(17分)
已知数列的各项均为正整数,记集合的元素个数为.
(I)若为1,2,3,6,写出集合,并求的值;
(II)若为1,3,a,b,且,求和集合;
(III)若是递增数列,且项数为,证明:“”的充要条件是“为等比数列”.
海南省2023~2024学年高三学业水平
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