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上海市黄浦区2025届高三下学期4月高考模拟考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．不等式的解集是.

2．设，集合，，若，则．

3．抛物线的焦点到其顶点的距离为．

4．在△ABC中，若，，，则.

5．为虚数单位，若复数满足且，则．

6．函数f(x)＝的最大值是.

7．已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为．

8．已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为．

9．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为米．（结果精确到0.01米）

??

10．若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为．

11．设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数．

12．设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是．

二、单选题

13．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（????）

A．两种证券的收益有反向变动的倾向

B．两种证券的收益有同向变动的倾向

C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的

D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌

14．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（????）

??

A． B． C． D．

15．设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（????）

A．

B．

C．

D．与的大小关系与、、、的取值有关

16．给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（????）

A． B． C． D．

三、解答题

17．已知．

(1)若，求的值；

(2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由．

18．在四面体中，，．

(1)若为正三角形，平面平面，求四面体体积；

(2)若，，求二面角的大小．

19．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球．

(1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立；

(2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？

20．椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点．

(1)若，点的坐标为，求点到直线的距离；

(2)当时，求满足的点的个数；

(3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围．

21．设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界．

(1)设，，判断函数，是否具有性质；

(2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界；

(3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围．

《上海市黄浦区2025届高三下学期4月高考模拟考试数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

B

B

A

B

1．

解分式不等式即可得解.

解析不等式化为，解得，

所以不等式的解集是.

故答案为：

2．2

根据交集的定义求解即可.

解析由，，且，

所以.

故答案为：2.

3．/0.25

求出抛物线的焦点及顶点即可得解.

解析抛物线的焦点为，顶点为，

所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为.

故答案为：

4．

由正弦定理得到方程，求出答案.

解析由正弦定理得，故，

即，解得.

故答案为：

5．

设出复数的代数形式，由给定条件列式，结合复数乘法及复数相等求解.

解析设，则，由，得，解得，

即，由，得，所以.

故答案为：

6．

解析由.

7．

设出等比数列公比，由题意建立方程，解方程并验根，可得答案.

解析设等比数列的公比为，由，则，解得，

由，则，代入上式可得