上海市松江区2024-2025学年高三下学期模拟考质量监控数学试卷.docx

上海市松江区2024-2025学年高三下学期模拟考质量监控数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，则.

2．抛物线的焦点到准线的距离是.

3．若复数满足（其中是虚数单位），则.

4．已知空间向量，若，则.

5．的二项展开式中的常数项为.

6．根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则回归系数的值为.

6

8

9

10

12

6

5

4

3

2

7．有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有种不同的停放方法.

8．在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为km.

9．已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为.

10．如图在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面ABC内一点，定义，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为.

11．设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是.

12．设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是.

二、单选题

13．已知，则“”是“且”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（???）

A． B． C． D．

15．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（???）

A．四棱锥 B．四棱锥

C．三棱锥 D．三棱锥

16．定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题：

①当为正整数时，；

②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是.

则以下选项正确的是（???）

A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题

C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题

三、解答题

17．已知函数，当时函数取得最大值4，记.

(1)求函数的表达式；

(2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和.

18．已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.

(1)求证：平面；

(2)当时，求直线和平面所成角的大小.

19．某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况．

(1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）；

(2)现从全部高三年级学生中随机抽取人，若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求的值.

20．已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）.

(1)求椭圆的离心率；

(2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离；

(3)求四边形面积的取值范围.

21．已知.

(1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：.

《上海市松江区2024-2025学年高三下学期模拟考质量监控数学试卷》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

B

D

D

A

1．

化简集合，根据交集运算求解.

解析集合是函数的定义域，对数函数中真数大于0，所以，

又，所以.

故答案为：.

2．4

解析由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.

3．

根据复数的四则运算法则求出复数，再求模即可．

解析已知，

则．将分子分母同时乘以的共轭进行化简，

，因为，所以．

．

故答案为：．

4．1

利用向量垂直数量积等于0即可得到结果.

解析因为，所以，解得.

故答案为：1

5．135

根据二项式展开式的通项特征即可求解.

解析由题，二项展开式的通项为.

令，得.

所以常数项为.

故答案为：135.

6．/

根据线性回归方程过样本中心点进行求解即可.

解析首先计算.

因为回归直线过样本中心点，把代入，

可得，解得.

故答案为：.