专题7.5 正态分布【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第三册）（解析版）.pdf

专题7.5正态分布【八大题型】

【人教A版（2019）】

【题型1正态密度函数】2

【题型2正态曲线的特点】3

【题型3利用正态曲线的对称性求概率】6

【题型4根据正态曲线的对称性求参数】7

【题型5利用3σ原则求概率】8

【题型6标准正态分布的应用】10

【题型7正态分布的实际应用】12

【题型8正态分布与其他知识综合】15

【知识点1正态分布】

1．连续型随机变量

随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.

2．正态分布

(1)正态曲线

函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正

态密度曲线，简称正态曲线.

(2)正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，

当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

2

若，则E(X)=μ，D(X)=σ.

3．正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；

(3)曲线在x=μ处达到峰值；

(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；

(5)对任意的σ0，曲线与x轴围成的面积总为1；

(6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的

分

布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.

4．3σ原则

(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827；

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

(2)3σ原则

2

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学

中称为3σ原则.

5．正态分布问题的解题略

解决正态分布问题有三个关键点：

(1)对称轴x=μ；

(2)标准差σ；

(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转

化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

【题型1正态密度函数】

1

【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为푓(푥)=

6π

2

푥−4푥+4

−

e6，则（）

휇=2,휎=3휇=3,휎=2

A．B．

휇=2,휎=