专题01 等差数列及其通项公式重难点专练（解析版）2021-2022学年高二数学下学期专题训练（沪教版2021选择性必修一）.docxVIP

专题01等差数列及其通项公式重难点专练（解析版）

错误率：___________易错题号：___________

一、单选题

1．（2021·上海市七宝中学高三期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）

A．小寒比大寒的晷长长一尺

B．春分和秋分两个节气的晷长相同

C．小雪的晷长为一丈五寸

D．立春的晷长比立秋的晷长长

【标准答案】C

【解析】

【思路指引】

先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.

【详解详析】

由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）；

同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）.

故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；

春分的晷长为，，

秋分的晷长为，，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；

小雪的晷长为，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；

立春的晷长，立秋的晷长分别为，，

，，，

故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.

故选：C.

【名师指路】

关键点点睛：

本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.

2．（2021·上海·高一月考）已知各项均不为零的数列，定义向量，，．下列命题中真命题是（）

A．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列

B．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列

C．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列

D．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列

【标准答案】A

【解析】

【思路指引】

根据向量平行的坐标表示，得到，利用累乘法，求得，从而可作出判定，得到答案．

【详解详析】

由题意知，向量，，．

当时，可得，即，

所以，

所以数列表示首项为，公差为的等差数列．

当，可得，即，

所以，

所以数列既不是等差数列，也不是等比数列．

故选：A．

【名师指路】

方法点睛：本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，解题方法是用“累乘法”求解通项公式．

3．（2021·上海闵行·高一期末）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（）．A．若数列的前项和（，，为常数）则数列为等差数列；

B．若数列的前项和，则数列为等差数列：

C．数列是等差数列，为前项和，则，，，…仍为等差数列；

D．数列是等比数列，为前项和，则，，，…仍为等比数列．

【标准答案】C

【解析】

【思路指引】

由得，进而可判断A和B；由等差数列的性质判断C；举反例判断D.

【详解详析】

对于选项A：因为，，当时，，所以，所以只有当时，数列成等差数列，故A错误；

对于选项B：因为，，当时，，所以，则数列成等比数列，故B错误；

对于选项C：数列是等差数列，为前项和，则，，，…是公差为（为的公差）的等差数列，故C正确；

对于选项D：令，则，，，…是常数列，显然不是等比数列，故D错误.

故选：C.

4．（2022·上海·高三月考）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，

使得、、成等差数列”的一个必要条件是（）

A． B． C． D．

【标准答案】A

【解析】

【详解详析】

存在，使得成等差数列，可得，

化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.

5．（2022·上海·高三月考）已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【标准答案】A

【解析】

【思路指引】

先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.

【详解详析】

当时，，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立；

，所以若数列为等差数列，则或，即必要性不成立，

综上，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，

故选A

【名师指路】

本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题.

6．（2022·上海·高三月考）抛物线上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点到焦点的距离关系是

A．成等差数列，不成等比数列 B．成等比数列，不成等差数列

C．成等差数列，又成等比数列 D．不成等差数列，又不成等比数列

【标准答案】A

【解析】

先设三点的坐标，根据纵坐标的平方成等差数列可得