专题03 空间向量的坐标表示综合专练（解析版）2021-2022学年高二数学下学期专题训练（沪教版2021选择性必修一）.docxVIP

专题03空间向量的坐标表示综合专练（解析版）

错误率：___________易错题号：___________

一、单选题

1．（2021·上海·华师大二附中高二期中）设，，…，是空间中给定的2021个不同的点，则使成立的点的个数为（）

A．0 B．1 C．2020 D．2021

【标准答案】B

【思路指引】

分别设出，，…，和各点的坐标，根据向量加法坐标运算代入可得答案.

【详解详析】

设，，…，，，

，

因为，所以

，得，

因此存在唯一的点使得成立.

故选：B.

2．（2021·上海市建平中学高二期末）空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（）

A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直

【标准答案】D

【思路指引】

结合向量的加法运算求出，然后验证，所以，即可得出结论.

【详解详析】

，由因为，所以，即，所以，

又因为，所以，

故选：D.

3．（2018·上海市七宝中学高二期中）长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合，中元素的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【标准答案】C

【思路指引】

建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解．

【详解详析】

由题意，因为正方体的底面为班车为1的正方形，高为2，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

则，

与相等的向量为，此时，

与相等的向量为，此时，

与相等的向量为，此时，

与相等的向量为，此时，

与相等的向量为，此时，

体对角线向量为，此时，

，此时，

，此时，

，此时，

综上集合，集合中元素的个数为3个．

故选：C．

【名师指路】

本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

4．（2019·上海市建平中学高三开学考试）如图，在直三棱柱中，，，已知G与E分别为和的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若，则线段DF的长度的平方取值范围为（）．

A． B． C． D．

【标准答案】D

【思路指引】

根据直三棱柱中三条棱两两垂直，可建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出的表达式，然后利用二次函数求最值即可．

【详解详析】

建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），

G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）

∴

∵GD⊥EF，

∴x+2y﹣1＝0，

∴x＝1﹣2y

DF

∵0＜y＜1

∴当y时，线段DF长度的最小值是

又y＝0时，线段DF长度的最大值是1

而不包括端点，故y＝1不能取；

故线段DF的长度的取值范围是：[，1）．

即线段的长度的平方取值范围为，

故选D.

【名师指路】

本题的考点是点、线、面间的距离计算，主要考查棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

5．（2021·上海·模拟预测）设向量，，其中，则下列判断错误的是

A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）

B．的最大值为

C．与夹角的最大值为

D．的最大值为l

【标准答案】B

【思路指引】

在A中，取z轴的正方向向量，求出与的夹角即可判断命题正确；在B中，计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．

【详解详析】

解：由向量，，其中，知：

在A中，设z轴正方向的方向向量，

向量与z轴正方向的夹角的余弦值：

，

∴向量与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确；

在B中，，

且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此的最大值为1，故B错误；

在C中，由B可得：，

，

∴与的夹角的最大值为，故C正确；

在D中，，

∴ad?bc的最大值为1．故D正确．

故选：B．

【名师指路】

本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．

二、填空题

6．（2019·上海大学附属中学高二月考）已知，，且，则________.

【标准答案】2

【思路指引】

利用?0即可得出．

【详解详析】

∵，∴1×4+2×（-5）+3x＝0，化为3x＝6，解得x＝2．

故答案为：2．

【名师指路】

本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．

7．（2019·上海市向明中学高二期末）向量与之间的夹角的大小为__________.

【标准答案】120°

【思路指引】

首先求得向量的数量积和向量的模，然后利用夹角公式即可求得向量的夹角.

【详解详析】

由题意可得：，，，

则.

故答案为：120°．

【名师指路】