北大离散数学.pptx

第7讲关系幂运算与关系闭包

北京大学内容提要关系幂(power)运算关系闭包(closure)2025/4/211《集合论与图论》第7讲第1页

关系幂运算n次幂定义指数律幂指数化简2025/4/212《集合论与图论》第7讲第2页

关系n次幂关系n次幂(nthpower):设R?A?A,n?N,则(1)R0=IA;(2)Rn+1=Rn○R,(n?1).Rn表示关系,是R关系图中长度为n有向路径起点与终点关系.12nn-12025/4/213《集合论与图论》第7讲第3页

关系幂运算(举例)例:设A={a,b,c},R?A?A,R={a,b,b,a,a,c},求R各次幂.解:bacbacG(R)G(R0)2025/4/214《集合论与图论》第7讲第4页

关系幂运算(举例,续)解(续):R0=IA,R1=R0○R=R={a,b,b,a,a,c},R2=R1○R={a,a,b,b,b,c},bacbacG(R)G(R2)2025/4/215《集合论与图论》第7讲第5页

关系幂运算(举例,续2)解(续):R0=IA,R1=R0○R=R={a,b,b,a,a,c},R2=R1○R={a,a,b,b,b,c},R3=R2○R={a,b,a,b,a,c}=R1,bacbacG(R)G(R3)2025/4/216《集合论与图论》第7讲第6页

关系幂运算(举例,续3)解(续):R4=R3○R=R1○R=R2,R5=R4○R=R2○R=R3=R1,普通地,R2k+1=R1=R,k=0,1,2,…,R2k=R2,k=1,2,…,.#bacbacG(R)G(R5)bacG(R4)2025/4/217《集合论与图论》第7讲第7页

关系幂运算是否有指数律?指数律:(1)Rm○Rn=Rm+n;(2)(Rm)n=Rmn.说明:对实数R来说,m,n?N,Z,Q,R.对普通关系R来说,m,n?N.对满足IA?R且A?domR?ranR关系R来说,m,n?N,Z,比如R2○R-5=R-3,因为能够定义R-n=(R-1)n=(Rn)-1?2025/4/218《集合论与图论》第7讲第8页

定理17定理17:设R?A?A,m,n?N,则(1)Rm○Rn=Rm+n;(2)(Rm)n=Rmn.说明:可让m,n?Z,只需IA?domR?ranR(此时IA=R○R-1=R-1○R)而且定义R-n=(R-1)n=(Rn)-1.回想:(F○G)-1=G-1○F-1(R2)-1=(R○R)-1=R-1○R-1=(R-1)22025/4/219《集合论与图论》第7讲第9页

定理17(证实(1))(1)Rm○Rn=Rm+n;证实:(1)给定m,对n归纳.n=0时,Rm○Rn=Rm○R0=Rm○IA=Rm=Rm+0.假设Rm○Rn=Rm+n,则Rm○Rn+1=Rm○(Rn○R1)=(Rm○Rn)○R1=Rm+n○R=R(m+n)+1=Rm+(n+1).(2)一样对n归纳.#2025/4/2110《集合论与图论》第7讲第10页

R0,R1,R2,R3,…是否互不相等?R0R1R2R3R4R5R6R7R8R0R1R2R3R4R5=R19=R33=R47=…R6=R20=R34=R48=…R7=R21=R35=R49=…R8=R22=R36=…R15R9R10R11R14R16R172025/4/2111《集合论与图论》第7讲第11页

定理16定理16:设|A|=n,R?A?A,则?s,t?N,而且,使得Rs=Rt.证实:P(A?A)对幂运算是封闭,即?R,R?P(A?A)?Rk?P(A?A),(k?N).|P(A?A)|=,在R0,R1,R2,…,这个集合中,必有两个是相同.所以?s,t?N,而且,使得Rs=Rt.#2025/4/2112《集合论与图论》第7讲第12页

鸽巢原理(pigeonholeprinciple)鸽巢原理(pigeonhole