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第4讲平面向量应用举例

[必威体育精装版考纲]

1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

知识梳理

1．向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．

(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.

(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质

a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)．

(3)求夹角问题，利用夹角公式

cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(θ为a与b的夹角)．

2．向量在三角函数中的应用

与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．

3．向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．

4．向量在物理中的应用

物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.

学生用书第76页

辨析感悟

1．向量与其他数学知识的交汇

(1)已知△ABC中，BC边最长，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，且a·b＞0，则△ABC的形状为钝角三角形．(×)

(2)在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，且eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(BD,\s\up12(→))＝0，则四边形ABCD是矩形．(×)

(3)(2014·贵州调研改编)在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足eq\o(OP,\s\up12(→))·eq\o(OA,\s\up12(→))＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.(√)

2．平面向量在物理中的应用

(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为eq\f(2π,3)，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2大小为eq\r(19).(√)

(5)已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为2.(√)

[感悟·提升]

1．一个手段

实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．

2．两条主线

(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．

(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题.

考点一向量在平面几何中的应用

【例1】(1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq\o(AE,\s\up12(→))·eq\o(BD,\s\up12(→))＝________.

(2)(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(BE,\s\up12(→))＝1，则AB的长为________．

审题路线(1)法一：把向量eq\o(AE,\s\up12(→))与eq\o(BD,\s\up12(→))分别用基底eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))表示．

法二：建立平面直角坐标系?求向量eq\o(AE,\s\up12(→))，eq\o(BD,\s\up12(→))的坐标．

(2)把向量eq\o(AC,\s\up12(→))与eq\o(BE,\s\up12(→))分别用基底eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))表示?利用eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(BE,\s\up12(→))＝1整理?建立关于|eq\o(AB,\s\up12(→))|的一元二次方程?解得|eq\o(AB,\s\up12(→))|.

解析(1)法一eq\o(AE,\s\up12(→))·eq\o(BD,