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运筹学课件最短路、最大流、邮路

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运筹学课件最短路、最大流、邮路

摘要：本文主要探讨了运筹学中的最短路、最大流和邮路问题。首先，对最短路算法的基本原理和常用算法进行了详细阐述，包括Dijkstra算法和Floyd算法。接着，介绍了最大流问题的基本概念、模型和求解算法，如Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。最后，对邮路问题进行了研究，分析了邮路问题的数学模型和求解方法。本文的研究成果对于优化物流配送、网络通信等领域具有重要的理论意义和应用价值。

随着信息技术的飞速发展，网络通信、物流配送等领域对资源优化配置的需求日益增长。运筹学作为一门研究资源优化配置的学科，为解决实际问题提供了有力的工具。本文旨在探讨运筹学中的最短路、最大流和邮路问题，分析其数学模型和求解算法，以期为相关领域的实际问题提供理论支持和解决方案。

第一章最短路问题

1.1最短路问题的基本概念

最短路问题在运筹学中是一个经典且广泛应用的优化问题。它涉及在一个加权图中，寻找从一个源点到所有其他节点的最短路径。这个问题在现实世界中有着广泛的应用，例如在地图导航、物流运输、网络通信等领域。

在数学模型中，最短路问题可以通过图论中的加权图来描述。假设有一个加权无向图G=(V,E)，其中V是顶点集，E是边集。每条边都有一个非负权值w(e)，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或成本。最短路问题就是要找到一条路径，使得从源点s到终点t的总权值最小。

例如，假设有一个城市A，它需要向城市B、C和D运送货物。城市A与这三个城市之间的距离分别为5公里、7公里和8公里。如果城市A同时向这三个城市运送货物，那么它需要选择一条最短路径以最小化运输成本。在这种情况下，最短路问题就是寻找从城市A到城市B、C和D的最短路径。

在实际应用中，最短路问题可以通过多种算法来解决。其中，Dijkstra算法是最著名的算法之一。Dijkstra算法的基本思想是从源点开始，逐步扩展到相邻的顶点，每次扩展都选择一个未被访问的顶点，并更新该顶点的最短路径长度。该算法的时间复杂度与图中边的数量成正比，因此对于大型图来说，可能不是最优选择。

Floyd-Warshall算法是另一种常用的最短路算法。它通过动态规划的思想，计算出图中所有顶点对之间的最短路径长度。Floyd-Warshall算法的时间复杂度是O(n^3)，其中n是图中顶点的数量。尽管算法的时间复杂度较高，但它能够处理包含负权边的图，因此在某些情况下比Dijkstra算法更为适用。

综上所述，最短路问题在理论和实践中都具有重要意义。通过对加权图的分析和算法的设计，我们可以有效地解决实际问题，提高资源利用效率，降低成本。随着算法研究和应用领域的不断扩展，最短路问题将继续在各个领域中发挥重要作用。

1.2Dijkstra算法

Dijkstra算法是一种适用于单源最短路径问题的有效算法。它通过维护一个距离表来记录从源点到每个顶点的最短距离，并逐步更新这些距离，直到找到所有顶点的最短路径。Dijkstra算法的基本步骤如下：

(1)初始化：将源点s的距离设为0，其他所有顶点的距离设为无穷大。将所有顶点放入未访问集合U中。

(2)选择未访问集合U中距离最小的顶点v，将其从U中移除，并加入到已访问集合V中。

(3)对于v的每个邻接顶点w，如果从源点s到w的距离大于从s到v再到w的距离，则更新从s到w的距离为从s到v再到w的距离。

(4)重复步骤(2)和(3)，直到已访问集合V包含所有顶点。

例如，假设有一个包含5个顶点的加权图，顶点分别为A、B、C、D和E。图中的边和权值如下：

-A到B的权值为1

-A到C的权值为4

-B到C的权值为2

-B到D的权值为5

-C到D的权值为1

-C到E的权值为3

-D到E的权值为2

现在，我们要使用Dijkstra算法找到从顶点A到其他顶点的最短路径。初始化距离表如下：

-A到A的权值为0

-A到B的权值为1

-A到C的权值为4

-A到D的权值为无穷大

-A到E的权值为无穷大

按照Dijkstra算法的步骤，我们首先选择距离最小的顶点A，并将其加入到已访问集合V中。然后，更新A的邻接顶点B、C的距离。此时，距离表更新为：

-A到A的权值为0

-A到B的权值为1

-A到C的权值为4

-A到D的权值为5

-A到E的权值为无穷大

接下来，选择距离最小的顶点B，并将其加入到已访问集合V中。更新B的邻接顶点C、D的距离。此时，距离表更新为：

-A到A的权值为0

-A到B的权值为1

-A到C的权值