2025年中考数学二轮压轴题训练：二次函数综合（含解析）.docxVIP

2025年中考数学二轮压轴题训练：二次函数综合

1．如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标；

(3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标．

2．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点．

(1)如图1，求的值；

(2)如图2，点在轴上，点在轴上，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接，若面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量取值范围）；

(3)如图3，在（2）的条件下，当，时，连接，点是第二象限内的一点，连接的角平分线交抛物线于点，交轴于点，连接，若，求点的坐标．

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线．

(1)求的值；

(2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标；

(3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长．

4．如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为．

(1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式；

(2)在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标；

(3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点．

5．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；

(3)如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

6．如图1，二次函数与轴相交于点、（点A在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点．

(1)直接写出点、、的坐标；

(2)如图1，连接，点为抛物线上一点，使，求点的坐标；

(3)如图2，直线与抛物线相交于两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点与点的直线交抛物线于，若直线必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式．

7．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

(1)求这个二次函数的解析式．

(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．

(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．

8．【问题背景】

如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，于轴交于点，以为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，恰好点落在抛物线上．

（1）直接写出点坐标，并求抛物线的函数表达式；

【初步探索】

（2）如图2所示，点为线段的中点，点为线段上一动点（点不与点，重合），连接，以为旋转中心将线段顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值；

【深度探究】

（3）如图2所示，连接交于点，在满足（2）最值的条件下，求．

9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接．

(1)求抛物线的解析式．

(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值．

(3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．

10．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值；

(3)如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．与轴交于点，顶点为，抛物线：经过点．

(1)当点的坐标为时，求抛物线的表达式；