待定系数法求二次函数解析式典型题型 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考.docxVIP

待定系数法求二次函数解析式典型题型

归纳练2025年中考数学二轮复习备考

一、解答题

1．已知二次函数．

(1)当函数图象过点时：

①求二次函数的表达式．

②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值．

(2)当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为．

2．已知二次函数的图象经过点，．

(1)求，的值．

(2)求当时，二次函数的最大值．

(3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式．

3．如图，抛物线经过轴上的两点和轴上的点，的圆心在轴上，且经过两点．若．

(1)求抛物线的解析式．

(2)设点在抛物线上，且两点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心，并说明理由．

4．已知二次函数，

(1)若抛物线的对称轴为直线，

①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式；

②当时，函数的最小值为，求的最大值．

(2)若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围．

5．已知二次函数．

(1)当二次函数图象过点时，求二次函数的表达式，并求它与轴的交点坐标；

(2)若二次函数图象在直线的右侧随着的增大而增大，求的取值范围；

(3)若二次函数图象上存在两点和，若，求的取值范围．

6．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．

(1)求出该抛物线的解析式；

(2)当时，求的最小值；

(3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值．

7．如图，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），．

(1)求抛物线的表达式；

(2)P为抛物线上任意一点，将点P向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标．

(3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线L，若点均在抛物线L上，且，直接写出n的取值范围．

8．已知二次函数．

(1)若函数图象经过点，解决下列问题：

①求该二次函数的表达式；

②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．

(2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．

9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线为常数，且）与轴交于两点（其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上），与轴交于点，

(1)若，且．

（i）求抛物线的函数表达式；

（ii）平移抛物线，使平移后的抛物线的顶点在线段上，且经过点，求点的横坐标；

(2)若，求的最小值．

10．小星利用一次函数和二次函数的知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示．当输入的值为时，输出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出的值为6．

(1)写出的值是__________．

(2)如图②，小星在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象.

①当随的增大而增大时，求的取值范围；

②若关于的方程（为实数）在时无解，直接写出的取值范围．

11．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．

(1)若抛物线与轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．

(2)已知抛物线（，为常数，且）．

①求证：该抛物线为“定点抛物线”；

②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为．

(1)求抛物线对应的函数解析式；

(2)当点为抛物线顶点时，求的值；

(3)当平行于轴时，求的值；

(4)将抛物线在点和点之间的部分记为图象（包括端点），当图象的最大值和最小值之差为时，直接写出的取值范围．

参考答案

1．(1)①；②

(2)或．

此题考查了待定系数法求出二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是掌握以上知识点．

（1）①利用待定系数法求解即可；

②首先表示出，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；

（2）首先将二次函数配方成，得到对称轴为直线，判断出抛物线开口向上，然后分3种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的性质求解即可．

（1）①解：∵二次函的图象过点，

∴，??

∴，

∴二次函数的表达式为；

②解：∵和都是二次函数图象上的点，

，，

，

∵，

∴，

，

∵，

∴的最小值是；

（2）∵

∴对称轴为直线

∵二次项系数为

∴抛物线开口向上

∵当时，二次函数有最小值，

①当时，

∴当时，二次函数有最小值，

∴

解得，不符合题意，舍去；

②当时，

∴当时，二次函数有最小值，

∴

解得或（不符合题意，舍去）；

③当时，

∴当时，二次函数有最小值，

∴

解得；

综上所述，