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2025届上海市长宁区高三二模考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，则．

2．复数，，则．

3．已知数列是等差数列，且，则其前7项和．

4．某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是．

5．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．）

6．已知随机变量的分布是，则其方差．

7．已知，，用表示为．

8．顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示．

9．一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为．

10．已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是．

11．现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于，则切割好后，木料体积的最大值是．（结果保留）

12．已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是．

二、单选题

13．已知非零实数，则下列命题中成立的是（???）．

A． B． C． D．

14．某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（???）

x

3

4

5

6

y

5

6.2

7.4

m

A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本

C． D．拟合误差

15．如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（???）

A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得

C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得

16．椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题：

①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则

②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为；

则以下说法正确的是（???）

A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题

C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题

三、解答题

17．已知向量．

(1)求函数的单调递减区间；

(2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围．

18．如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)求点到平面的距离以及三棱锥的体积．

19．为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）

方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）；

方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．

(1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；

(2)顾客B恰好消费了800元，

①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）；

②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理．

20．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率．

(1)求双曲线的方程；

(2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标；

(3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围．

21．已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合．

(1)已知，求．

(2)已知，若集合只有一个元素，求a的值；

(3