湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（A卷）.docxVIP

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湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（A卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B．

C． D．

2．复数，其中为虚数单位，则的共轭复数为（????）

A． B．

C． D．

3．已知，，若，则（????）

A． B． C． D．

4．已知函数的最小正周期为，则（????）

A．2 B．3 C．1 D．

5．小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（????）

A．0.54 B．0.56 C．0.58 D．0.6

6．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

7．棱长为3的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为（????）

A． B． C． D．

8．已知各项均不为零的数列，其前项和为，且.下列结论中错误的是（????）

A．

B．不存在实数，使为递减数列

C．存在实数，使得为等比数列

D．，使得当时，总有

二、多选题

9．下列说法正确的是（????）

A．相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则

B．的展开式中二项式系数和为32

C．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小

D．甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.95和0.8，则模型甲的拟合效果更好

10．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第二象限），则（????）

A．可能为等边三角形

B．

C．若直线的倾斜角为，则

D．若直线的倾斜角为，则的面积为

11．已知函数，其中为正整数，且为常数，是函数大于的零点，其构成数列，则（????）

A．函数不可能有三个零点

B．函数的减区间为

C．对于任意的，函数在区间内均存在零点，则

D．存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列

三、填空题

12．已知离散型随机变量，，则.

13．某班一天上午有4节课，下午有3节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、政治，体育7堂课的课程表，要求数学课、物理课都排在上午，且数学课、物理课不连排，体育课排在下午，不同排法种数是.用数字作答）

14．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是.

四、解答题

15．人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”“图像修复”“语言翻译”“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了100名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：

软件功能

视频创作

图像修复

语言翻译

智绘设计

大学生人数

30

20

30

20

假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响.

(1)从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；

(2)采用按比例分配的分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列，数学期望以及方差.

16．在中，分别为角的对边，.

(1)求角的大小；

(2)若为的中点，，的面积为，求的周长.

17．已知函数，为实数.

(1)若函数在处的切线经过点，求的值；

(2)若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围；

(3)若对任意的，且恒成立，求的取值范围.（为自然常数）

18．如图，矩形中为中点，将沿着折叠至.

??

(1)证明：平面；

(2)设平面平面，点.

（i）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为；

（ii）在满足条件（i）的情况下，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求.

19．在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，若的离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知两点，其中点在线段上运动（不含端点），与关于点对称，直线与椭圆的另一交点为点，直线与椭圆的另一交点为点，设直线的斜率分别为，直线的斜率分别为.

（i）求的面积的最大值；

（ii）求证：为定值，并求出该定值.

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