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平行线的性质与判定

典例精练

【例1】如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.

(1)求证:△AOF≌△COE;

(2)连接AE，CF.请添加一个条件，使四边形AECF为菱形(不需要说明理由).

【例2】(2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA的延长线上，连接CE.

(1)求证:∠E=∠ECD;

(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD,直接写出△BCE的形状.

针对训练

1.(2024湖北)如图,直线AB∥CD,已知∠1=120°,则∠2=()

A.50°B.60°C.70°D.80°

2.(2024河南)如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为()

A.60°B.50°C.40°D.30°

3.(2024北京)如图,直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC,若∠AOC=58°,则∠EOB的大小为()

A.29°B.32°C.45°D.58°

4.(2024陕西)如图,AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°,则∠D的度数为()

A.25°B.35°C.45°D.55°

5.(2024齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是()

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.如图,AB与CD相交于点O,若∠A=∠B=30°,∠C=50°,则∠D=()

A.20°B.30°C.40°D.50°

7.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是.

8.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF.求证:∠E=∠F.

9.如图,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠B=8

(1)求∠BAD的度数；

(2)AE平分∠BAD交BC于点E,∠BCD=50

10.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,过点D作.DE‖BC交AB于点E.

(1)求证:BE=DE;

(2)若∠A=80

C

11.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠CDA,BE平分∠ABC交AD于点E,DF平分∠CDA交BC于点F.求证:BE∥DF.

12.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=110°,BE平分∠ABC交AD于点E,DF‖BE交BC于点F.

(1)求∠ABC的大小;

(2)求∠CDF的大小.

13.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.

(1)求证:BM=DN;

(2)矩形ABCD的边AB与AD满足什么长度关系时，四边形MPNQ是正方形?(不需要说明理由)

平行线的性质与判定参考答案

典例精练

【例1】如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.

(1)求证:△AOF≌△COE;

(2)连接AE，CF.请添加一个条件，使四边形AECF为菱形(不需要说明理由).

解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC.∴∠FAO=∠ECO.

在△AOF和△COE中,{∠FAO=∠ECO,

∴△AOF≌△COE.

(2)AE=EC.(答案不唯一)

【例2】(2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA的延长线上，连接CE.

(1)求证:∠E=∠ECD;

(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD,直接写出△BCE的形状.

解:(1)证明:∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B.

又∵∠B=∠D,∴∠EAD=∠D.

∴BE∥CD,∴∠E=∠ECD.

(2)等边三角形.

针对训练

1.(2024湖北)如图,直线AB∥CD,已知∠1=120°,则∠2=(B)

A.50°B.60°C.70°