多元函数的微积分.pptxVIP

01第1节多元函数的概念02第2节多元函数的偏导数和全微分03第3节多元复合函数、隐函数的求导法则04第4节多元函数微分法的应用05第5节二重积分的概念06第6节二重积分的计算07第7节二重积分的应用第6章多元函数微积分

二元函数的几何意义二元函数的连续性思考与练习二元函数的定义二元函数的极限小结6.1多元函数的概念

定义1的函数值，函数值的总体称为函数的值域。类似地，可定义三元函数及其他多元函数。二元函数的定义

例１

例2一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。唯一的温度

一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。二元函数的几何意义0102

二元函数z=f(x,y)的图形——通常是一张曲面（函数曲面）.

二元函数的极限

P2P1小结：P3

例３求证证明

由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数

0102性质１（最大值和最小值定理）二元函数的连续性

性质３（零点定理）01性质４（有界性定理）02性质２（介值定理）03

P2P1例４设解P3因此

小结：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域．由多元初等函数的连续性，如果要求它在点一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。思考题:

6.2多元函数的偏导数和全微分01偏导数的概念02偏导数的几何意义03偏导数与连续的关系04小结05思考与练习06高阶偏导数07全微分的概念和应用（未做）08

偏导数的概念

导数,记作02同理,如果极限01

偏导函数,简称偏导数,记作

解01根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数,02并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求03导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍然适用.04例105

例2解所以

例3解

偏导数的几何意义意义.

如下图所示

偏导数与连续的关系例如

0102偏导数存在，不一定连续；连续，不一定存在偏导数；注:偏导数存在与连续的区别

可定义二元函数的二阶偏导数如下高阶偏导数一般来说,这两个偏导数还是高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设

P1例4P2解

二阶以上的偏导数称为高阶偏导数

例5解

上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有条件的.为此,给出下面的定理:定理6.1相等.例6

所以小结：在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导次序无关。解因为

小结多元复合函数的求导法则思考与练习隐函数的偏导数求法6.3多元函数复合函数、隐函数的求导法则

定理6.51多元复合函数求导法则2

证明

010203所以有完全类似地可以证明第二个等式。下面再介绍一特殊情形。

另外，对于自变量或中间变量多于两个的情形，也有类似则

（1）搞清函数的复合关系；（2）对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切有关的中间变量而归结到该自变量。例1解注意：

例2解

隐函数的偏导数求法

同理可证定理6.6（隐函数存在定理）

并有注意例3解Q1Q2Q3Q4

P1例4P2解

应用上面公式，得

2在几何上的应用3二元函数极值的求法16.4多元函数微分法的应用5思考与练习4小结

空间曲线的切线与法平面在几何上的应用

即

例1解

法平面方程为01曲面的切平面方程与法线方程02为03于是，切线方程为

例2解或法线方程为

1二元函数的极值3定理6.7(极值存在必要条件)2二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。4使5二元函数极值的求法

定理6.8（极值存在充分条件）令

第一步第二步第三步

例3解若是，说明取得极值情况又由于解方程组求驻点判断驻点是否极值点，

在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并01无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把02对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件03条件极值问题有如下两种解法。04方法105例406解072.条件极值与拉格朗日乘数法

010203由一元函数极值存在的必要条件，得所以方法2（拉格朗日数乘法）

这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。01至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还02是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。03

解A作辅助函数B令C例5

即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。01注:求二元函数极值的方法换元法。拉格朗日数乘法。01由前三式，得