2024-2025学年湖南省益阳市桃江县高三第一次诊断考试数学试题理试题含解析.docVIP

2024-2025学年湖南省益阳市桃江县高三第一次诊断考试数学试题理试题

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数，，，，则，，的大小关系为（）

A． B． C． D．

2．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（）

A． B． C． D．

3．函数的部分图象大致是（）

A． B．

C． D．

4．已知实数x，y满足，则的最小值等于（）

A． B． C． D．

5．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

6．已知，，，若，则（）

A． B． C． D．

7．已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）

A． B．1 C． D．2

8．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（）

A． B．

C． D．

9．函数f(x)＝的图象大致为()

A． B．

C． D．

10．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是

A．10 B．9 C．8 D．7

11．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）

A． B． C． D．

12．二项式的展开式中，常数项为（）

A． B．80 C． D．160

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.

14．锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______.

15．已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为______________．

16．展开式中项系数为160，则的值为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

18．（12分）已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:（是参数）.

（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.

（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.

19．（12分）如图，己知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.

（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；

（2）若，且，求实数的值；

（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.

20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值.

21．（12分）已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）讨论零点的个数.

22．（10分）已知函数.

（1）求函数f(x)的最小正周期；

（2）求在上的最大值和最小值．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B

【解析】

可判断函数在上单调递增，且，所以.

【详解】

在上单调递增，且，

所以.

故选：B

本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.

2．B

【解析】

设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．

【详解】

由题意设四面体的棱长为，设为的中点，

以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则可得，，取的三等分点、如图，

则，，，，

所以、、、、，

由题意设，，

和都是等边三角形，为的中点，，，

，平面，为平面的一个法向量，

因为与平面所成角为定值，