矩阵理论 课件 第5章第1节矩阵序列与矩阵级数.ppt

*****MATRIXTHEORY矩阵理论山东科技大学张子叶矩阵分析第5章目录5.1矩阵序列与矩阵级数5.2矩阵函数5.3函数矩阵5.4矩阵分析的应用矩阵序列与矩阵级数5.1向量序列与矩阵序列本节把微积分中有关数域上的数列极限的概念及运算推广到数域上的向量空间及主要以向量和矩阵的范数为工具来展开讨论.若不做特殊说明,则以下讨论都是在复数域上进行的.定义5.1设向量序列向量如果则称向量序列收敛于向量记为或当向量序列中至少有一个分量数列发散时,称该向量序列是发散的.由定义5.1可以看出,一个维向量序列收敛等价于它对应的个数列收敛.要判断维向量序列的收敛性,需要判断它对应的个数列的收敛性,计算较为繁琐.下面利用向量范数给出向量序列收敛的定义,这样会给判断向量序列的收敛性带来方便.定义5.2设是中的向量序列,是中任意一个向量范数,如果存在向量使得当时,有则称向量序列依范数收敛于向量根据向量范数的等价性,容易证明,若向量序列在中依某种向量范数收敛于向量则向量序列在中依其他向量范数也收敛于向量从而有如下定理.定理5.1设是中任意一个向量范数,则的充要条件是证根据向量范数的等价性,只需对某一向量范数进行证明即可.这里取向量范数必要性：若则从而即充分性：若则因为所以因此定理5.1表明,尽管不同的向量范数可能具有不同的大小,但它们在各种向量范数下判断向量序列的收敛性时表现出明显的一致性.换句话说,如果向量序列对某种向量范数收敛于向量那么对其他向量范数,这个序列依然收敛,且也收敛于定义5.3对于向量空间中的向量序列是某种向量范数,如果对任意给定的存在正整数当时,有则称关于向量范数为Cauchy(柯西)序列.在微积分中,已知数列为Cauchy序列是数列收敛的充要条件.但对于向量序列,此结论不再是充要条件.例5.1设向量空间中的向量序列收敛于证明为Cauchy序列.证因为收敛于所以对于任一向量范数有由于且当时,有因此当时,有即为Cauchy序列.例5.2设为由区间上的实系数多项式的全体构成的线性空间,向量序列下面证明对于为Cauchy序列.证因为对不妨设则有显然,当时,有从而,为Cauchy序列.但是并不是该线性空间中的向量.这说明,在一般的向量空间中,向量序列为Cauchy序列不是向量序列收敛的充分条件,即Cauchy收敛准则在一般的向量空间中不成立.但在下面所定义的完备的线性赋范空间中是成立的.定义5.4定义了范数的线性空间称为线性赋范空间.若其中任