第3章 空间向量及其应用单元综合提优专练（解析版）2021-2022学年高二数学下学期专题训练（沪教版2021选择性必修一）.docxVIP

第3章空间向量及其应用单元综合提优专练（解析版）

错误率：___________易错题号：___________

一、单选题

1．（2021·上海市松江二中高二期中）已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【标准答案】C

空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中的向量不共面

【详解详析】

解：，，，共面，不能构成基底，排除；

，，，共面，不能构成基底，排除；

，，，共面，不能构成基底，排除；

若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．

故选：．

【名师指路】

本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.

2．（2019·上海市延安中学高二期中）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（）

A．1 B．2 C．4 D．8

【标准答案】A

本题首先可根据图像得出，然后将转化为，最后根据棱长为以及即可得出结果.

【详解详析】

由图像可知，，

则，

因为棱长为，，

所以，，

故集合中的元素个数为，

故选：A.

【名师指路】

本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.

3．（2022·上海·高三月考）长方体，，，在左侧面上，已知到?的距离均为5，则过点且与垂直的长方体截面的形状为（）

A．六边形 B．五边形

C．四边形 D．三角形

【标准答案】B

以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与、和的交点，再过作交于，过作，交于，即可判断截面形状.

【详解详析】

以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

设截面与交于，则，

，解得，即，

设截面与交于，则，

，解得，即，

设截面与交于，则，

，解得，即，

过作，交于，设，则，

则存在使得，即，解得，故在线段上，

过作，交于，设，则，

则存在使得，即，解得，故在线段上，

综上，可得过点且与垂直的长方体截面为五边形.

故选：B.

【名师指路】

本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与、和的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置.

4．（2021·上海·高二期中）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（）

A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为

C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为

【标准答案】D

在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.

【详解详析】

在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，

因为该正方体的棱长为，分别为的中点，

则，，，，

所以，设，则，

因为，

所以，，当时，；当时，；

取，，，，

连接，，，，则，，

所以四边形为矩形，

则，，即，，

又，且平面，平面，

所以平面，

又，，所以为中点，则平面，

所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，

所以点的轨迹为四边形，

因此点不可能是棱的中点，即A错；

又，，所以，则点的轨迹不是正方形；

且矩形的周长为，故C错，D正确；

因为点为中点，则点为矩形的对角线交点，所以点到点和点的距离相等，且最大，所以线段的最大值为，故B错.

故选：D.

【名师指路】

关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由，求出动点轨迹图形，即可求解.

5．（2021·上海·曹杨二中高三期中）已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（）

A． B． C． D．

【标准答案】B

【思路指引】

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的一个法向量的坐标，由已知条件得出，可得出、所满足的等式，求出点的轨迹与线段、的交点坐标，即可求得结果.

【详解详析】

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，设点，

，，设平面的法向量为，

由，取，可得，

，由题意可知，平面，则，

令，可得；令，可得.

所以，点的轨迹交线段于点，交线段的中点，

所以，点的轨迹长度为.

故选：B.

6．（2022·上海·高三月考）如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二