人教版2025年八年级数学下册章节重点梳理 第17章 勾股定理（6个知识点+10类题型突破）.pdfVIP

第十七章勾股定理

01思维导图

02知识速记

知识点01勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

a，bc222

如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么abc.

注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

2利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可

（）

以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

22222222

3理解勾股定理的一些变式：acb，bca，cab2ab.

（）

运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为的线段

n

知识点02勾股定理证明

（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

1

图1中，所以.

（）

（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图2中，所以.

（）

（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

03

知识点勾股定理逆定理

a，b，c222

1.定义：如果三角形的三条边长，满足abc，那么这个三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

c

（1）首先确定最大边（如）.

222222

cabcab

（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若

222

cab，则△ABC不是直角三角形.

222222

abcabcc

注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为

三角形的最大边.

04

知识点勾股数

像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

勾股数满足两个条件：满足勾股定理三个正整数

①②

知识点05勾股定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在

具体推算过程中，应用两短边