考点12 导数与函数的单调性（精讲）-【考点通关】备战2023年高考数学一轮复习满分攻略（新高考地区专用）（原卷版）.docxVIP

第12讲导数与函数的单调性

知识点1函数的单调性与导数的关系

一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：

在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；

在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减．

特别地，若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．

注：1．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.

2．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

3．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．

【即学即练1】【多选】如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是()

A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增

B．在区间(2,3)上f(x)单调递减

C．在区间(4,5)上f(x)单调递增

D．在区间(3,5)上f(x)单调递减

【即学即练2】下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()

A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝xex

C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋lnx

【即学即练3】函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为()

A．(0,1) B．(0，＋∞)

C．(1，＋∞) D．(－∞，0)，(1，＋∞)

【即学即练4】已知f(x)是定义在(a，b)内的可导函数，则“f′(x)＞0”是“f(x)在(a，b)上为增函数”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【即学即练5】若y＝x＋eq\f(a2,x)(a0)在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

【即学即练6】已知函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则a的取值范围是________．

【即学即练7】(多选)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0且g(－3)＝0，则使得不等式f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范围是()

A．(－∞，－3) B．(－3,0)

C．(0,3) D．(3，＋∞)

解题策略

利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；

（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；

（3）函数在区间上不单调在区间上存在极值点；

（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；

（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.

考点一证明(判断)函数的单调性

解题方略：

讨论函数f(x)单调性的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；

(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．

注：研究含参函数的单调性时，需注意依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．

（一）一次型

【例1-1】已知函数，，讨论的单调性；

指数型

【例1-2】已知函数．若，讨论的单调性；

二次不可因式分解型

【例1-3】讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．

二次可因式分解型

【例1-4】已知，若，讨论函数的单调性；

考点二求函数的单调区间

解题方略：

利用导数求函数单调区间的方法

(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间；

(2)当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；

(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．

注：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开．

【例2-1】函数的单调递减区间为（???????）

A． B． C． D．

变式1：函数的单调增区间是___________.

变式2：已知函数（）．若a=1，讨论的单调性；

【例2-2】已知函数，其中．求函数的单调区间；

考点三函数单调性的简单应用

解题方略：

1．函数图象的辨识主要从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判