9.3 实系数一元二次方程（课件）-2024-2025学年高一数学（沪教版2020必修第二册）.pptxVIP

沪教版（2020）必修第二册第九章复数9.3实系数一元二次方程

在初中课程中已学过了实系数一元二次方程，它具有标准形式ax2+bx+c=0(a、b、c∈R,a≠0).我们已经知道可用判别式△=b2-4ac来判定这个方程实根的存在性.具体地说，在实数范围内考虑：新课引入

我们现在再来讨论实系数一元二次方程的求根问题，但将根的取值范围从实数拓广到复数.也就是说，我们不仅要讨论实根，还要讨论虚根.我们要解决的问题实际上有两个：(A)当△≥0时，除了已经找到的实根外，方程在复数范围还有其他的根吗?(B)当△0时，方程在复数范围有根吗?怎样求出它的根?回答这两个问题，关键是对△(它是一个实数)在复数范围的平方根问题有个准确的把握.

设c∈R,并设a+bi(a、b∈R)是它的一个平方根，即(a+bi)2=c.将上式左边展开，得到(a2-b2)+2abi=c,再根据复数相等的条件，就得到实数的平方根从第二个等式可知，a与b中至少有一个为零当c≥0时，必须b=0,否则a=0,从而推出c=-b20,与假设矛盾.于是，a+bi=a必是c的一个实平方根.这说明，除了已知的实平方根a=±√c,非负实数c在复数范围没有其他的平方根.

而当c0时，必须a=0,否则b=0,从而推出c=a20,与假设矛盾.于是，b2=-c0,从而b=±√-c.此时c的平方根有两个：±√-ci,它们是两个共轭的纯虚数.

这就是说，2ax+b是实数△的平方根.由前面关于实数平方根的讨论，就可以回答本节引言中所提的两个问题了，其答案是：在复数范围内，

在复数范围将2x2-4x+5分解因式.在复数范围内分解因式

例1解

例2解

例3解

?B?C课堂练习

3.方程2x2-3x+6=0根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个虚数根D.有一个实根和一个虚根B

5．已知方程x2＋mx＋n＝0的根是两个纯虚数，则m满足________．

【解析】根据题意可知，方程两个根是互为共轭复数的纯虚数，故两根之和为零，根据韦达定理，两根之和为－m，所以m＝0.m＝0

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课堂小结

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