线性代数5-5相似对角化.pptxVIP

第五节实对称矩阵的相似对角化

5.1对称矩阵特征值与特征向量的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．定理1的意义定理1实对称矩阵的特征值为实数.(证明略）

PARTONE注:n阶方阵A为实对称阵的充分必要条件是A有n个彼此正交的实特征向量.

利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法第一章节

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：(教材P145)将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.

解添加标题例1对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.添加标题第一步求的特征值添加标题

解之得基础解系解之得基础解系

解之得基础解系第三步将特征向量正交化添加标题第四步将特征向量单位化添加标题

于是得正交阵练习:教材P147例2PART1

解由添加标题Λ,使B与Λ相似,并求k为何值时,B为奇异矩阵.添加标题例2设矩阵添加标题令矩阵B＝(kE+A)2,其中k为实数,为E单位矩阵,求对角矩阵添加标题

故B的特征值为k2,(k+2)2可得A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝0.记对角矩阵02正交阵P,使得P-1AP=Λ.因为A为实对称矩阵,故B也是实对称矩阵存在01

由此可得显然B与A相似,且k=0或k=－2时,B为奇异矩阵.

添加标题设与α1正交的向量为α＝(x1,x2,x3)T,则添加标题的线性无关的特征向量应有两个,设为α2,α3,则α2,α3与α1正交.添加标题由于3阶实对称必可对角化,对于二重特征值λ2＝1添加标题解:添加标题例3设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=0,λ2=1(二重)，A的属于λ1的特征向量为α1=(0,1,1)T，求A.习P13316题

p3=.由于与正交，所以只需将α1,α2,α3单位化.解此方程组得基础解系p1=,

则P为正交矩阵，且P-1AP=Λ,所以P=(p1,p2,p3)=令矩阵

==

1.对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)最后单位化．

思考题PART1

思考题解答PART1