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第一章实数集与函数

导言数学分析课程简介(2学时)

一、数学分析(mathematicalanalysis)简介：

1.背景：从切线、面积、计算sin32°、实数定义等问题引入.

2.极限(limit)——变量数学的基本运算：

3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算，利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数，并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.

微积运算是高等数学的基本运算.

数学分析与微积分(calculus)的区别.

二、数学分析的形成过程：

1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪，Archimedes就有了积分思想.

2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期，是微积分思想的发展、成果的积累时期.

3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.

4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：

三、数学分析课的特点：

逻辑性很强，很细致，很深刻；先难后易，是说开头四章有一定的难度，

倘能努力学懂前四章(或前四章的80%),后面的学习就会容易一些；只要

在课堂上专心听讲，一般是可以听得懂的，但即便能听懂，习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强，只了解基本的理论和方法，不辅以相应的技巧，是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的，也是重要的内容之一，也是最难的内容之一.一般懂得了证明后，能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此，理解证明的思维方式，学习基本的证明方法，掌握叙述和书写证明的一般语言和格式，是数学分析教学贯穿始终的一项任务.

有鉴于此，建议的学习方法是：预习，课堂上认真听讲，必须记笔记，

但要注意以听为主，力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业，先认真整理笔记，补充课堂讲授中太简或跳过的推导，阅读教科书，学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后，再去做作业.在学习中，要养成多想问题的习惯.

四、课堂讲授方法：

1.关于教材及参考书：这是大学与中学教学不同的地方，本课程主要从以下教科书中取材：

[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001;

[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992;

[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003;

[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999;

[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.

2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带

星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.

3.内容多，课时紧：大学课堂教学与中学不同的是，这里每次课介绍的内容很多，因此，内容重复的次数少，讲课只注重思想性与基本思路，具体内容或推导，特别是同类型或较简的推理论证及推导计算，可能讲得很简，留给课后的学习任务一般很重.

4.讲解的重点：概念的意义与理解，几何直观，理论的体系，定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路，具有代表性的证明方法，解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.

五.要求、辅导及考试：

1.学习方法：尽快适应大学的学习方法，尽快进入角色.课堂上以听为主，但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化，补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1:3。

对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说，课堂听讲的内容应该更为丰富：要认真评价教师的课堂教学，把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.

2.作业：作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容.大体上每周收一次作业，一次收清.每次重点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记，缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写工整.

3.辅导：大体每周一次，第一学期要求辅导时不缺席.

4.考试：按教学大纲的要求，只以最基本的内容进行考试，大体上考课堂教学和所布置作业的内容，包括[1]中的典型例题.考试题为标准化试题，理论证明题逐渐增多.

第一章实数集与函数

教学目的：

1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学