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2025届广东省揭阳市华侨高级中学高三（实验班）下学期第一次质检数学试题试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为()

A．5 B．6 C．7 D．9

2．i是虚数单位，若，则乘积的值是()

A．－15 B．－3 C．3 D．15

3．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）

A．4 B．3 C．2 D．1

4．设是虚数单位，复数（）

A． B． C． D．

5．已知，则（）

A． B． C． D．2

6．下列四个图象可能是函数图象的是（）

A． B． C． D．

7．已知，则的值构成的集合是（）

A． B． C． D．

8．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（）

A． B． C． D．

9．在中，内角的平分线交边于点，，，，则的面积是（）

A． B． C． D．

10．已知复数满足，则的值为（）

A． B． C． D．2

11．的展开式中的系数是-10，则实数()

A．2 B．1 C．-1 D．-2

12．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在二项式的展开式中，的系数为________.

14．已知是等比数列,若，,且∥,则______.

15．已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______．

16．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）数列满足，是与的等差中项.

（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18．（12分）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，

．

（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；

（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：

①对任意，；

②．

证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）；

（ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）；

（Ⅲ）设，，，其中，，若，则．

19．（12分）等差数列的前项和为，已知，.

（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；

（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.

20．（12分）设前项积为的数列，（为常数），且是等差数列.

（Ｉ）求的值及数列的通项公式；

（Ⅱ）设是数列的前项和，且，求的最小值.

21．（12分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.

（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.

（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.

①已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元．若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？

②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.

22．（10分）设点分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，直线与轴交于点，过点且斜率的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：直线．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

【解析】

由题可知：，且可得，构造函数求导，通过导函数求出的单调性，结合图像得出，即得出，

从而得出的最大值.

【详解】

因为，

则，即

整理得，令，

设，

则，

令,则，令，则，

故在上单调递增，在上单调递减，则，

因为，，

由题可知：时，则，所以，

所以，

当无限接近时，满足条件，所以，

所以要使得

故当时，可有，

故，即，

所以：最大值为5.

故选：A.

本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.

2．B

【解析】

，∴，选B．

3．A

【解析