辽宁大学《大学物理》课件-第二十三章 薛定谔方程.pptxVIP

辽宁大学大学物理

第二十三章薛定谔方程

§1薛定谔方程

§1.1自由粒子的薛定谔方程

§1.2势场中的薛定谔方程

§1.3定态薛定谔方程

§1.1自由粒子的薛定谔方程

自由粒子的波函数

低速条件下（非相对论性）

一维运动自由粒子含时薛定谔方程

三维情况

拉普拉斯算符

自由粒子

自由粒子的波函数所遵从的薛定谔方程

在高速条件下（相对论性）

克莱因－戈尔登方程

§1.2势场中的薛定谔方程

势场Ep=U(x,t)

一维势场的含时薛定谔方程

三维势场U(r,t)

§1.3定态薛定谔方程

定态：势场不随时间变化，即U(x，t)=U(x)

分离变量法：

=E

E的意义

具有能量量纲的常数

粒子波函数随时间的演化遵循简谐振动规律，此简谐振动的频率为=E/h。

一个频率为的单色平面波所描述的粒子具有确定的能量h

常数E就是粒子所具有的能量

一维定态薛定谔方程

三维定态薛定谔方程

薛定谔因发现原子理论的有效的新形式——波动力学获得1933年度诺贝尔物理学奖

(ErwinSchrodinger

1887—1961)

定态时粒子的波函数总具有以下形式

粒子在空间的概率密度

当粒子所在的势场不随时间变化时，粒子在空间出现的概率密度也不随时间变化。

定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态。

关于量子力学中的定态，下面表述中错误的是

A.系统的波函数一定与时间无关

B.系统的势函数一定与时间无关

C.定态具有确定的能量

D.粒子在空间各点出现的概率密度不随时间变化

A

§2一维势阱

§2.1一维无限深势阱

§2.2一维有限深势阱*

§2.1一维无限深势阱

1、势能函数

经典图像

当外界向粒子提供能量时，粒子可获得此能量而使自身能量发生连续变化，粒子在势阱内自由运动，在任何位置出现的概率也是相等的。

2、定态薛定谔方程的解

电子不可能越出阱外，由波函数物理意义可知势阱外波函数

势阱内（U=0）定态薛定谔方程

边界条件：波函数应在边界x=0和x=a上连续

归一化条件

定态波函数

3、能量量子化

能量量子数n

本征能量En

能量量子化——求解薛定谔方程的必然结果。

讨论

一维势阱中微观粒子的能量

在势阱中微观粒子的能量是不连续的，这是一切处于束缚态微观粒子的共同特征，这种能量量子化是在解薛定谔方程中根据波函数的性质自然得到的结果，而不是人为规定的

束缚条件是使微观粒子的能量和动量量子化的原因

从波函数的角度看：n=0时波函数为零，意味着在势阱不能发现微观粒子，所以没有物理意义

为什么不存在n=0的量子态？

从能量的角度看：n=0时能量为零，粒子动量为零，于是粒子就处于静止状态，这时粒子的能量和位置都完全确定（x=0，px=0），违背了不确定关系

当n=1，粒子具有的能量最低，称为零点能

经典物理的观点认为在没有外力作用的空间里，粒子的最低能量为零

微观粒子具有“零点能”是一种典型的量子效应，这种效应能够解释为什么液氦在冷却到温度仅比绝对零度高一点点的时候，也不会冻结成固体.

氦原子几乎没有分子间作用力，所以在绝对零度附近，氦原子的纯量子力学运动——零点运动就足够阻止氦冻结成固体了。

对于很小的n值即低能级状态，量子化特征显著

n值增大，能级分布可视为连续变化。经典力学与量子力学的结论将趋于一致

经典力学是量子力学在大量子数条件下的近似结果——对应原理

相邻能级间的间隔

例题1设想一电子在无限深势阱中运动，如果势阱宽度分别为1.0102m和1010m，试讨论这两种情况下相邻能级的能量差。

解根据势阱中的能量公式

两相邻能级的能量差为

当a=1cm时

当a=1010m时

En=37.7n2eV

En=(2n+1)37.7eV

4、电子的波函数和位置概率分布

令

波函数可以看成是两列沿x轴相反方向传播的单色平面波的叠加——驻波

应用欧拉公式

——在长度为a的一维弦线上形成

驻波波长

概率密度

例题2设想质量为m的微观粒子在无限深势阱中运动，势阱宽度为a，试计算在n=1和n=两种状态下，粒子在0xa/4范围内出现的概率。

解根据无限深势阱中粒子的定态波函数

粒子在0xa/4范围内出现的概率

n=1

n=

经典力学的情形，此时粒子在