吉林大学《高等数学》课件-第13章无穷级数.pptxVIP

无穷级数第十三章第一节数项级数的概念和性质第二节正项级数的敛散性第三节任意项级数第四节函数项级数幂级数吉林大学《高等数学》

数项级数的概念和性质一、数项级数的概念二、数项级数的性质第一节

一、常数项级数的概念引例.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正

定义1.1给定一个数列将各项依即称上式为数项级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作

当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然

例1.1讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为

2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.

例1.2判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和

(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和

性质1.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为1.2数项级数的性质

说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,(1)性质1表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)

性质2.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.

性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数

性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例1.4用反证法可证例如

性质5设收敛级数则必有证:可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.

注意:并非级数收敛的充分条件.例1.5调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.

例判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为

例判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.

例判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.

因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)

这说明原级数收敛,其和为3.(3)

作业：习题6.1(A)2,5;(B)1,3.

二、比值判别法三、根值判别法第二节一、比较判别法正项级数的敛散性

若正向级数收敛准则正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”正项级数

定理2.1(比较判别法)设且(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,设级数收敛于和σ，则级数的部分和即部分和数列有上界，有收敛准则之该级数收敛.反之，设发散。则必发散.因为若收敛，将有也收敛，与假设矛盾.

都有推论2.1设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨

(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数

例2.1讨论p-级数(常数p0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,

级数加括号得到2)若它的各项均超不过级数