2025届中考数学中档及压轴题方法与技巧复习专题02：相似三角形综合（解析版）.docxVIP

2025届中考复习

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2025届中考复习专题02:相似三角形综合

总览

总览

题型解读

TOC\o1-3\h\z\u模型梳理 2

【题型1】A字模型 9

【题型2】“8”字型 15

【题型3】三角形内接矩形 22

【题型4】倒数型（三平行结构） 26

【题型5】A字型与8字型相综合（用2次相似） 28

【题型6】射影定理 34

【题型7】子母相似模型（公共边公共角） 39

【题型8】一线三等角模型 49

【题型9】旋转相似模型（手拉手） 58

【题型10】作辅助线构造A字和8字型相似 74

【题型11】反“8”字型相似（两组相似，四点共圆） 84

【题型12】十字架模型 89

【题型13】对角互补模型 99

【题型14】双高模型 103

【题型15】折叠与相似综合 106

【题型16】结合已知条件作辅助线构造相似 122

【题型17】相似三角形探究性问题 131

题型

题型汇编

知识梳理与常考题型

模型梳理

一、A字模型

已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．

结论：△ADE∽△ABC，＝＝．（共线的边之比相等）

反A字型

结论：＝＝．（共线的边之积相等）

构造A字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型

ABCDE

A

B

C

D

E

二、8字模型

已知：AC与BD相交于点O，AB∥CD．

A

A

B

D

C

O

结论：△OAB∽△OCD，＝＝（共线的边之比相等）．

构造8字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型

ADBCO

A

D

B

C

O

三、反8字模型（两组相似，四点共圆）

性质一：如左图，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．

性质二：如右图，?△AOD∽△BOC(由第一组相似推出第二组相似)

性质三：四点共圆(圆周角定理)

四、三角形内接矩形型

三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形．

若四边形DEFG为矩形，则：

特别地，

(1)当四边形DEFG为正方形时，若假设其边长为a，则：

(2)当EF为三角形的中位线时，矩形DEFG的面积最大，最大值为

(3)

证明：把△FGC向左平移至△，则，∴

五、倒数模型（三平行结构）

倒数型相似

AB∥EF∥CD

示意图

结论

六、射影定理模型（直角三角形和斜边上的高）

如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB（均满足：(公共边)2＝共线的边之积）

补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A，B，E，G四点组成射影定理模型．

（2）在圆中也会出现射影定理模型．

七、母子相似模型

（一）基本模型

A

A

D

B

C

已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB．

结论：△ACD∽△ABC，

＝＝，AC2＝AD·AB．(公共边)2＝共线的边之积

（二）结论推导

结论：△ACD∽△ABC，＝＝，AC2＝AD·AB．

证明：∵∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC，

∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC2＝AD·AB．

母子相似模型也叫共边共角相似模型．

（三）解题技巧

如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段的乘积．

八、一线三等角模型

（一）基本模型

1

1

2

3

A

B

D

P

C

已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3．

结论1：△CAP∽△PBD．

D

D

2

A

1

3

C

B

P

已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3．

结论2：△APC∽△BDP．

（二）结论推导

结论1：△CAP∽△PBD．

证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．

∵∠1＝∠3，∴△CAP∽△PBD．

结论2：△APC∽△BDP．

证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D，∴△APC∽△BDP．

（三）解题技巧

在一条线段上出现三个相等的角时，则考虑使用一线三等角相似模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题．一线三等角模型常以一线三垂直（即∠1=∠2=∠3=90°，也称为K型）的形式出现在矩形或正方形中，在几何综合题中考查

九、旋转相似模型(