2025届中考数学中档及压轴题方法与技巧复习专题04：圆的常考模型汇总（原卷版） .docxVIP

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2025届中考复习专题04:圆的常考模型归纳

总览

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题型解读

TOC\o1-3\h\z\u【题型1】弦切角定理与切割线定理 24

【题型2】中点弧模型 28

【题型3】内心模型 32

【题型4】线段和差问题（构造手拉手） 35

【题型5】阿基米德折弦定理 39

【题型6】平行弦与相交弦，垂直线，割线模型 44

【题型7】垂径图 47

【题型8】等腰图 50

【题型9】双切图 53

【题型10】射影图 57

【题型11】切割图 60

【题型12】圆与三角函数综合 64

【题型13】圆与相似综合 67

题型汇编

题型汇编

知识梳理与常考题型

圆的基本模型（一）：圆幂定理

1.弦切角与切割线

①

①是切线；②（弦切角定理）；③

以上三个结论知一推二

弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的∠1，等于它们所夹的弧EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AB)所对的圆周角∠2

2.圆幂定理

①相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

②切割线定理：从圆外点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

③割线定理（推论）：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。

【统一归纳】：过任意不在圆上的一点P引两条直线l1、l2，l1与圆交于A、B（可重合，即切线），l2与圆交于C、D（可重合），则有

【模型图解】

相交弦定理割线定理切割线定理切线长定理

PA·PB=PC·PDPA·PB=PC·PDPA2=PC·PDPA=PC

统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合的“交点”）于点A、B、C、D,则有

圆幂定理:过一个定点P的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值（定值称做点P对的“幂”，等于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）

【问题】求证（点在圆外）

【证明】由切割线定理推论得：PA·PB=PC·PD，

又∵PC·PD=(PH―CH)(PH+CH)=PH2―CH2

=(OP2―OH2)―(r2―OH2)

=OP2―r2

【例题】如图，已知PAB是⊙O的割线，PO=14cm，PA=4cm，AB=16cm。求⊙O的半径。

【证明】由得，r2=OP2－PA·PB=132,∴r=

圆的基本模型（二）：中点弧模型

点P是优弧AB上一动点，则

【以下五个条件知一推四

【以下五个条件知一推四】

点C是的中点

AC＝BC

OC⊥AB

PC平分∠APB

(即)

【简证】∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似

【补充】⑥PE?PC＝PA?PB，注意：⑥不能反推出前五项

【例】如图，四边形内接于，对角线、交于点，且，若，，则．

易知，则，

圆的基本模型（三）：内心模型与等腰

【模型讲解】外接圆+内心?得等腰

如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，则DI＝DC＝BD

??

【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3

圆的基本模型（四）：线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理）

1.中点弧与旋转

【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点

邻边相等+对角互补?旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.

??

由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似.

2.常见结构

（1）圆内接等边三角形结论：，可构造做角平分线或构造手拉手模型

【简析】

（2）圆内接等腰直角三角形（正方形）

情况一：有角平分线

情况二：无角平分线

截长补短构造手拉手——旋转相似，一转成双

在AP上取一点Q，使BP=BQ,,

【旋转六法】

补充【托密勒定理】：秒杀！（选填可用）

3.阿基米德折弦定理

【模型解读】

【问题】：已知M为的中点，B为上任意一点，且MD⊥BC于D．求证：AB＋BD＝DC

证法一：(补短法)

如图：延长DB至F，使BF＝BA∵M为中点∴＝，∴∠1＝∠2－－－①

又∵EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3