第12讲正态分布（春季讲义）（人教A版2019选择性）.docx

第12讲正态分布

【人教A版2019】

模块一

模块一

二项分布

1．连续型随机变量

随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.

2．正态分布

(1)正态曲线

函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正

态密度曲线，简称正态曲线.

(2)正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，

当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若，则E(X)=μ，D(X)=σ2.

3．正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；

(3)曲线在x=μ处达到峰值；

(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；

(5)对任意的σ0，曲线与x轴围成的面积总为1；

(6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分

布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.

4．3σ原则

(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827；

P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；

P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

(2)3σ原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学

中称为3σ原则.

5．正态分布问题的解题策略

解决正态分布问题有三个关键点：

(1)对称轴x=μ；

(2)标准差σ；

(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

【注】若X服从正态分布，即X～N(μ,)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.

【题型1正态密度函数】

【例1.1】（2425高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数fx=18πe?

A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和2

【解题思路】将fx=1

【解答过程】∵fx

∴μ＝

故选：B.

【例1.2】（2025高二·全国·课后作业）给出下列函数：①f(x)=12πσe?(x+μ)22σ2；②f(x)=1

A．1 B．2 C．3 D．4

【解题思路】根据正态分布密度函数的定义逐个分析判断.

【解答过程】对于①，f(x)=12πσe?

对于②，若σ=1，则应为f(x)=12πe?(x?μ)

对于③，它就是当σ=2，μ=0

对于④，它是当σ=2

所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．

故选：C.

【变式1.1】（2223高二下·江苏·课后作业）函数f(x)=12πσe

A．?? B．??

C．??? D．??

【解题思路】函数fx图象的对称轴为直线x=μ，由μ0

【解答过程】函数fx图象的对称轴为直线x=μ，因为μ0

又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.

故选：A.

【变式1.2】（2324高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x)=16π

A．μ=2,σ=3 B．μ=3,σ=2

C．μ=2,σ=3 D．

【解题思路】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解.

【解答过程】由正态分布密度函数f(x)=16π

故选：C.

【题型2正态曲线的特点及性质】

【例2.1】（2324高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数φi(x)=12πσie

A．μ1=μ3μ2

C．μ1=μ3μ2

【解题思路】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.

【解答过程】由题图中y=φi(x)

y=φ1(x)与y=

所以σ1

故选：C.

【例2.2】（2324高二下·浙江温州·期中）设X~Nμ1,σ1

A．μ1μ

C．PY≥μ2

【解题思路】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小

【解答过程】因为X~Nμ1,σ1

所以由图可知，μ1

因为X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，

所以σ1

所以PY≥μ2

所以C错误，D正确，

故选：D.

【变式2.1】（2425高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布Nμ1,σ1

（注：正态曲线的函数解析式为f(x)=12π?σ

A．甲类水果的平均质量μ

B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右

C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大

D．乙类水果的质量服从