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2025届福建省漳州市龙海程溪中学高三元月联考数学试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,集合,若,则()
A. B. C. D.
2.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示,俯视图中的两个小三角形全等,则()
A.PA,PB,PC两两垂直 B.三棱锥P-ABC的体积为
C. D.三棱锥P-ABC的侧面积为
3.已知实数满足则的最大值为()
A.2 B. C.1 D.0
4.下列命题中,真命题的个数为()
①命题“若,则”的否命题;
②命题“若,则或”;
③命题“若,则直线与直线平行”的逆命题.
A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知椭圆内有一条以点为中点的弦,则直线的方程为()
A. B.
C. D.
6.已知复数满足,则=()
A. B.
C. D.
7.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,其中个位、百位、方位……用纵式表示,十位、千位、十万位……用横式表示,则56846可用算筹表示为()
A. B. C. D.
8.棱长为2的正方体内有一个内切球,过正方体中两条异面直线,的中点作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为()
A. B. C. D.1
9.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若函数的图象的一条对称轴是,则的最小值为
A. B. C. D.
10.已知等比数列的各项均为正数,设其前n项和,若(),则()
A.30 B. C. D.62
11.正三棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成的角为()
A. B. C. D.
12.若,满足约束条件,则的取值范围为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入,的值分別为4,5,则输出的值为______.
14.函数满足,当时,,若函数在上有1515个零点,则实数的范围为___________.
15.已知实数a,b,c满足,则的最小值是______.
16.若、满足约束条件,则的最小值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)记函数的最小值为.
(1)求的值;
(2)若正数,,满足,证明:.
18.(12分)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的人的得分(满分:分)数据,统计结果如下表所示.
组别
频数
(1)已知此次问卷调查的得分服从正态分布,近似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),请利用正态分布的知识求;
(2)在(1)的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
(ⅰ)得分不低于的可以获赠次随机话费,得分低于的可以获赠次随机话费;
(ⅱ)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
赠送的随机话费/元
概率
现市民甲要参加此次问卷调查,记为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列及数学期望.
附:,若,则,,.
19.(12分)对于非负整数集合(非空),若对任意,或者,或者,则称为一个好集合.以下记为的元素个数.
(1)给出所有的元素均小于的好集合.(给出结论即可)
(2)求出所有满足的好集合.(同时说明理由)
(3)若好集合满足,求证:中存在元素,使得中所有元素均为的整数倍.
20.(12分)已知数列满足,,其前n项和为.
(1)通过计算,,,猜想并证明数列的通项公式;
(2)设数列满足,,,若数列是单调递减数列,求常数t的取值范围.
21.(12分)已知椭圆的焦点为,,离心率为,点P为椭圆C上一动点,且的面积最大值为,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点,为椭圆C上的两个动点,当为多少时,点O到直线MN的距离为定值.
22.(10分)已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)的角的对边分别为且,,求边上的高的最大值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,
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