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立体几何中的向量方法——平行和垂直

lAP１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量一、方向向量与法向量

2、平面的法向量?AlP平面α的向量式方程换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量

oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)

练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPEXYZ

ml平行关系：

α

αβ

l垂直关系：m

lABCQ1Q2Q3Q4

αβ

1、平行关系：

2、垂直关系：

设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.平行或重合垂直123平行或重合4巩固性训练1

设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行或重合相交巩固性训练2

1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=；若则k=。2、已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=.巩固性训练34-5-84

二、立体几何中的向量方法——证明平行与垂直

例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG证：如图所示,建立空间直角坐标系.//AE与FG不共线几何法呢？

例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立体几何法

ABCDPEXYZG如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG解法2

ABCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：设平面EDB的法向量为

ABCDPEXYZ解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：解得x＝－２,ｙ＝１

例4正方体A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F中，E、F分别平面ADE.证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以

,E是AA1中点，例5正方体平面C1BD.证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD.平面EBD

CD中点，求证：D1FA1xD1B1ADBCC1yzEF练习.在正方体中，E、F分别是BB1,，平面ADE所以

练习：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a。求证:面AEF?面ACF。AFEC1B1A1CBxzy