高斯小学奥数四年级下册含答案第19讲_容斥原理 .pdfVIP

第十九讲容斥原理

这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的

问题在生活中就有不少，比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的瓜子壳

是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”

瓜子仁

着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子

壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量．

瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分

喝茶的喝咖啡的

是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相

关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一

些，各部分之间会有重叠．比如一个办公室中

每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有

既喝茶又喝咖啡的

7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就

说办公室里有17个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将

喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次（如图所示），计

算人数的时候要把这一部分减去才行．比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人

数就应该是710314人．

这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种

问题通常需要画出示意图（如喝茶与喝咖啡的图），这样的示意图又叫做文氏图，下面我们

就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．

№1.简单容斥原理（两个对象）

如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算AB就

AB

会算多了，而多算的正好是③部分，只要把多算的减掉就可以①③②

了．上述分析总结成公式就是：

A、B总数ABA、B重叠

这个公式就是两个对象的容斥原理．

．．．．

例题1

150

（）一群小朋友共有人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的

有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么两者都喜欢吃的有多少人？

2

（）暑假里，小高和墨莫一起讨论金陵十八景．他们发现十八景中的每一处都有人去过，

而且有五处是两人都去过的．如果小高去过其中的十二景，那么墨莫去过其中的几景？

31221

（）在一群小朋友中，有人看过动画片《黑猫警长》，有人看过动画片《大闹天

8

宫》，并且有人两部动画片都看过．已知每个小朋友至少都看过其中的一部，那么有几个

小朋友只看过这两部中的一部动画片？

画一下文氏图分析一下吧！注意图中每一部分所代表的含义！

「分析」试着

练习1

四年级同学参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀．其中语文成绩

优秀的有42人，数学优秀的有56人，语文、数学都优秀的有15人，请问四年级共多少名

同学？

例题2

渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．有150名男生和90名女生参加长跑比

赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了．请问：只

参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？

题目中既有参加长跑的，又有参加游泳的，作图时可以画两个圆，分别

「分析」

表示“游泳”和“长跑”．但条件中还有男生、女生，那男生、女生该怎么表示

呢？

练习2

某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名

男生．已