函数与导数培优（极值点偏移问题）.docx

第三讲零点型（三）极值点偏移问题

例1.已知，如果且，求证：

分析：本道题本质上考查函数单调性的应用，若且函数单调递增，则：。我们可以利用单调性去掉函数符号，两个函数值的比较可以转变成两个自变量的取值的比较。本题要证，也就是这是两个自变量取值的比较，我们就要去构造相应的两个函数值即与的比较，而

也就是比较与，我们可以构造差值函数在处函数值的正负。

解：则

当时，；当时，

∴在递增，在递减。

的大致图像为：

由题意知：

构造函数

则：

∵∴，在单调递增。∴

又∵，∴。即

又∵，∴

又∵，且在递增

∴即

跟踪训练1.当时，有两个零点，求证：

解：，则

当时，，在单调递减。

当时，，在单调递增。

，的大致图像为：

令则

令，则，。

在单调递增。则

即，又，

又，且在单调递减。

∴，即

总结：此类问题：设函数的极值点设为，，且

解题模版：证明或

研究函数的单调性，确定，所在区间。

构造一次差值函数。

研究函数的单调性。

根据，判断与的大小。

由代替，结合的单调性得到与的大小关系。

例2.函数，如果，且，求证：

分析：本题的原理和例1有相似性，要证，还是要比较两个自变量的取值，即，通过两个函数值进行比较，即与的比较。而，就变成了与的比较，从而构造函数。

解：，

令，则。

令，则。在单调递增，在单调递减。

的大致图像为：

则

设=

，

在单调递增。

又，∴

又，，又且在单调递增。

∴，即：

总结：设函数的极值点设为，，且

解题模板：证明或

研究函数的单调性，确定，所在区间。

构造一次差值函数

研究函数的单调性。

根据，判断与大小

由代替，结合的单调性得到与的大小关系。

跟踪训练2：已知，其图像与轴交于两点且，求实数的取值范围，并证明。

解：

当时，，在上单调递增。

当时，令，则

令，则

在单调递减，在单调递增。

，∴

的大致图像为：

思路1：

构造：

，在处理在单调性时，

很难判断的正负。所以这种办法不是最佳做法。

思路2：可以叫我们想起均值不等式：，若我们证明了

，再利用不等式的传递性，本题可证。

设函数

则：当且仅当时“=”成立。

在上单调递增。∵，

即：，又∵，∴

又∵且在单调递减。

即，即

又（）

由不等式的传递性知：