2025届湖南衡阳常宁市第五中学高三第二次模拟数学试题试卷含解析.docVIP

2025届湖南衡阳常宁市第五中学高三第二次模拟数学试题试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．二项式的展开式中，常数项为（）

A． B．80 C． D．160

2．已知三棱锥中，是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A． B． C． D．

3．若不相等的非零实数，，成等差数列，且，，成等比数列，则（）

A． B． C．2 D．

4．已知方程表示的曲线为的图象，对于函数有如下结论：①在上单调递减；②函数至少存在一个零点；③的最大值为；④若函数和图象关于原点对称，则由方程所确定；则正确命题序号为()

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

5．已知正方体的棱长为1，平面与此正方体相交.对于实数，如果正方体的八个顶点中恰好有个点到平面的距离等于，那么下列结论中，一定正确的是

A． B．

C． D．

6．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（）

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

7．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

8．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（）

A．依次成等差数列 B．依次成等差数列

C．依次成等差数列 D．依次成等差数列

9．已知复数满足：（为虚数单位），则（）

A． B． C． D．

10．已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（）

A． B． C． D．

11．关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（）

A．单调递增 B．单调递减 C．先递减后递增 D．先递增后递减

12．函数在上的图象大致为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．数列的前项和为，则数列的前项和_____．

14．已知数列的前项和且，设，则的值等于_______________.

15．设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则______.

16．（5分）已知为实数，向量，，且，则____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在三棱锥中，，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：

（1）是的中点；

（2）平面平面.

18．（12分）已知函数（），不等式的解集为.

（1）求的值；

（2）若，，，且，求的最大值.

19．（12分）数列满足，，其前n项和为，数列的前n项积为.

（1）求和数列的通项公式；

（2）设，求的前n项和，并证明：对任意的正整数m、k，均有.

20．（12分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

21．（12分）已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若对任意恒成立，求的取值范围.

22．（10分）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，满足

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间），是否存在直线，使得直线，，的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程，若不能，请说理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

【解析】

求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.

【详解】

解：二项式展开式的通式为，

令，解得，

则常数项为.

故选：A.

本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.

2．D

【解析】

根据底面为等边三角形，取中点，可证明平面，从而，即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为，可求得到平面的距离，画出几何关系，设球心为，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.

【详解】

设为中点，是等边三角形，

所以，

又因为，且，

所以平面，则，

由三线合一性质可知

所以三棱锥为正三棱锥，

设底面等边的重心为，

可得，，

所以三棱锥的外接球球心在面下方，设为，如下图所示：

由球的性质可知，平面，且在同一直线上，设球的半径为，

在中，，

即，

解得，

所以三棱锥的外接球表面积为，

故