奔驰定理与四心问题讲义-高一下学期数学培优资料.docx

2024年下学期—2025年上学期高一数学培优资料

奔驰定理与四心问题

知识归纳总结

知识一四心的概念

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1；

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等；

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

知识二奔驰定理解决面积比例问题

奔驰定理：设O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记作SA，SB，SC，则SAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋SBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋SCeq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0．

A

A

B

C

O

SC

SB

SA

说明：本定理因图形酷似奔驰的

说明：本定理因图形酷似奔驰的

车标而得名．

特别地：

(1)O是△ABC的重心?SA:SB:SC＝1:1:1?eq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0；

(2)O是△ABC的内心?SA:SB:SC＝a:b:c?aeq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋beq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋ceq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0；

(3)O是△ABC的外心?SA:SB:SC＝sin2A:sin2B:sin2C

?sin2Aeq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋sin2Beq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋sin2Ceq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0；

(4)O是△ABC的垂心?SA:SB:SC＝tanA:tanB:tanC

?tanAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)QUOTE＋tanBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋tanCeq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0．

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．

知识三常见结论

(1)内心：三角形的内心在向量eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AB),|\o\ac(\s\up7(→),AB)|)＋eq\f(\o\ac(\s\up7(→),AC),|\o\ac(\s\up7(→),AC)|)所在的直线上，

(2)外心：|eq\o\ac(\s\up7(→),PA)|＝|eq\o\ac(\s\up7(→),PB)|＝|eq\o\ac(\s\up7(→),PC)|?P为△ABC的外心；

(3)垂心：eq\o\ac(\s\up7(→),PA)·eq\o\ac(\s\up7(→),PB)＝eq\o\ac(\s\up7(→),PB)·eq\o\ac(\s\up7(→),PC)＝eq\o\ac(\s\up7(→),PC)·eq\o\ac(\s\up7(→),PA)?P为△ABC的垂心．

必考题型归纳

题型一：奔驰定理

例1．已知O是△ABC内部一点，且eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋2eq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0，则△AOB的面积与△ABC的面积之比为___________．

例2．已知O是△ABC内部的一点，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a＝3，b＝2，c＝4，若sinAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋sinBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋sinCeq\o\ac(\s\up7(→),OC)QUOTE＝0，则△AOB与△ABC的面积之比为 __________．

例3．若点M是△ABC所在平面内的一点，点D是边AC靠近A的三等分点，且满足5eq\o\ac(\s\up7(→),AM)＝eq\o\ac(\s\up7(→),AB)＋eq\o\ac(\s\up7(→),AC)QUOTE，则△ABM与△ABD的面积比为___________．

变式1．已知O为正△ABC内一点，且满足eq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋λeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋(1＋λ)eq\o\ac(\s\up7(→),OC)＝0，若△OAB的面积与△OAC的面积之比为3，则λ＝___________．

变式2．点P是△ABC所在平面上一点，若eq\o\ac(\s\up7(→),AP)