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外力驱动下的Cucker-Smale模型的有限时间行为研究

摘要

群体行为的集群问题，一直以来广受学者们的关注。近年来，对于Cucker-Smale模

型的研究已经成为热点问题。从集群收敛时间上来看，由渐近时间集群扩展到有限时间

内集群；从集群数量上来看，也从单集群扩展到双集群，甚至多群。有限时间内双集群

问题和外力驱动下集群的研究也是十分必要的。

本文要研究的问题是在有限时间内集群的基础上，将外力驱动应用到Cucker-Smale

系统中，利用Lyapunov分析、图论和有限时间稳定性理论等知识，考虑系统在有限时

间内的双集群行为，获得了外力驱动下的二部耦合强度模型和四部耦合强度模型在有限

时间内实现双集群的结果。最后通过数值实验验证了理论结果的合理性和有效性。

本文的研究结果主要包含如下三个方面：

1.构造一个符合本文研究模型的微分不等式，利用这一不等式获得相应的收敛时间

估计。随后，再利用此估计讨论外力驱动下二部耦合强度的Cucker-Smale模型和外力驱

动下四部耦合强度的Cucker-Smale模型。对于同类型的两个带有新协议的不同系统，在

外力驱动下分别得到了有限时间内集群的收敛时间估计。

2.对于外力驱动下二部耦合强度的Cucker-Smale模型，得到了在有限时间内双集

群的结果。证明了无向有符号图在结构平衡时，系统实现有限时间内双集群，并且最终

两个子群速度大小一致，方向相反，位置有界。

3.对于外力驱动下四部耦合强度的Cucker-Smale模型，系统在特定外力的驱动下

实现了有限时间内双集群行为。并且利用有限时间稳定性理论的扩展引理，对收敛时间

的上界做出了重新估计。

关键词：Cucker-Smale模型；有限时间稳定性；外力；收敛时间；有限时间双集群

外力驱动下的Cucker-Smale模型的有限时间行为研究

ABSTRACT

Theflockingproblemofgroupbehaviorhasalwaysbeenwidelystudiedbyscholars.In

recentyears,researchontheCucker-Smalemodelhasbecomeahottopic.Fromtheperspective

ofclusterconvergencetime,itextendsfromasymptotictimeflockingtofinitetimeflocking;

Intermsofthenumberofclusters,ithasalsoexpandedfrommono-clusterflockingtobipartite

flocking,andevenmultipleclusters.Itisalsonecessarytostudythebipartiteflockingproblem

withinafinitetimeandclustersdrivenbyexternalforces.

TheproblemtobestudiedinthisarticleistoapplyexternalforcedrivingtotheCucker-

Smalesystembasedonafinitetimeflocking.ByutilizingknowledgesuchasLyapunov

analysis,graphtheory,andfinitetimestabilitytheory,thebipartiteflockingbehaviorofthe

systeminafinitetimeisconsidered,